O'C' OC
O'C oc'
Les deux centres de similitude O et O' dicisent donc harmoniquement la distance des centres CC' (2.^).
La démonstration précédente prouve que deux figures à centres sont à la fois homothétiques directes et homothétiques inverses.
On voit que les tangentes qux points homologues des deux circonférences considérées sont nécessairement parallèles, puisqu’elles sont perpendiculaires à des rayons parallèles.
Les tangentes communes aux deux circonférences joignant deux points homologues de ces circonférences, passent par l’un des deux centres de similitude (65).
On déduit de là une construction simple de la tangente commune à deux circonférences; car, le point O ou le point O' ayant été déterminé comme précédemment, il suffit de mener par ce point une tangente a l’une des circonférences: elle sera nécessairement tangente à l’autre circonférence.
Lorsque les circonférences considérées sont tangentes extérieurement, leur point de contact devient le centre de similitude interne; lorsqu’elles sont tangentes intérieurement, letir point de contact devient le centre de similitude externe.
Lorsque deux circonférences sont concentriques, les centres de similitude se confondent avec le centre commun des deux circonférences.
Lorsque deux circonférences sont égales, le centre de similitude externe s’éloigne à l'infini, et le centre de similitude interne est au milieu de la ligne des centres.
70. Trois circonférences considérées deux à deux étant semblables, conduisent à six centres de similitude. D’après ce que nousavonsdilrelativefflent aux polygones (67), les trois centras de similitude externes sont en ligne droite et correspondent à l’axe de similitude externe. En considérant deux centres internes et le centre exierne qui correspond au centre interne lais.sé de côté, on obtient les trois axes de similitude internes.
71. Jiemanpie. — Tout ce qu’on vient d’établir relativement à l'homotltétie des figures planes, s'appliqucsensaucun c|iangcment aux polyèdres ou aux spltères homothétiques. Ainsi, par exemple, les centres de similittule externe et interne de deux sphères divisent harmoniquement la distance des centres de ces sphères. Trois sphères présentent six centres de similitude, trois externes, trois internes, et quatre axes, Pua de simili iude- externe, les trois nutres de similitude interne.
GÉOMÉTRIE
tl68
Problèmes sur les contacts.
72. Décrire une circonférence qui passe par deux points donnés et louche une droite donnée “4 ).
Fig.
Supposons le problème résolu .
Soient A et D les deux points donnés, KL la droite donnée.
Si la corde AB prolongée coupe KL, et si CT désigne la distance du point d'intersection C au point de contact de KL avec la circonférence cherchée, un devra avoir ( Géom., 1 H )
Cr= AC.BC.
On déterminera donc la longueur CT en cherchant une moyenne proportionnelle aux longueurs AC et DC ; puis on portera cette moyenne proportionnelle de part et d’autre du jioint C, en CT et en CT'. On élèvera alors 00' perpendiculaire sur le milieu de AB, TO et T'O' perpendiculaires sur KL. Les points de rencontre O et 0' seront les centres des deux circonférences qui satisfont à l’énoncé.
Si AB était parallèle à KL, il n'y aurait qu'une solution. Le point de contact T s’obtiendrait en élevant une perpendiculaire sur le milieu de AB, jusqu'à la rencontre de KL.
73. Mener par un point donné une circonféréitcc qui touche deux
■ Soit D le point donné ; il est nécessairement situé dans l’un des quatre angles formés par les droites données; soit xky cet angle. Si l’on on trace la bissectrice AM, on aura un lieu du centre de la circonférence demandée (Gèo/n., 82). AM donnant la direction d'un diamètre de cette circonférence, si l'on abaisse du point D la perpendiculaire DP sur AM, et si on la prolonge d’une longueur PD' = DP, le point D' appartiendra aussi à la circonférence demandée. La question est donc ramenée à faire passer par les deux points D et D' une circonférence tangente à la droite Ajt ou A/ (72).
droites données {Jîg. jh).
Fig. 75.
74. Faire passer par deux /joints donnés une eirconférenee qui touche une circonférence donnée (fig. 76).
Fig. 7G. Soient B et C les deux points donnés et 0
la circonférence donnée. Le problème n'est évidemment possible que si les points B et C sont ensemble extérieurs ou intérieurs à la circonférence 0. Ceci posé, faisons passer par les ()oint8 B et C une circonférence quelconque qui coupe j*n D et en E la circonférence 0. Les cordes BC. et DE venant se coiqier en M, ce |)oint M sera le centre radical de la «■irconférencc O, de la circonférence sc«’ante cl de la circonférence cherchée (f>2, 03). Par
GÉOMÉTRIE. 269
suite, cette circonférence devant être tangente à la circonférence O, on aura l’axe radical fie ces deux circonférences ou leur point de contact A, en menant par le point M une tangente MA à la circonférence Q ( fi2 ). question sera donc ramenée à faire passer une circonférence par trois |)oints donnés. Le problème aura deux solutions, puisqu’on peut mener deux tangentes par le point M à la circonférence O.
S’il arrivait que la corde BC fût (larallèle à la corde DE, la question se réduirait à mener une tangente au cercle O, parallèlement à la direction BC; il y aurait encore deux solutions.
75. Var un point donné, faire /nttser une circonférence tangente h deux eirconfércnces données (Jig. 77 ). '
Supposons le problème résolu. Soient C et C' les circonférences données, A le point donné, et O la circonférence cherchée. Soient M et N les
points de contact de la 77- . circonférence O avec
les deux circonférences C et C'. Les points M et N seront les centres de similitude internes des circonférences C et C' par rapport à la circonférence O ( 69 ) . Les , trois centres do simi-,^, litudo d’un système.^, ^ 'de trois circonférences étant en ligne droite,
le centre de similitude externe dos circonférences C et C' se trouvera à la fois sur MN et sur CC' prolongées (69, 70). On peut déterminer à priori ce centre externe S ( 69), et le joindre au point A. La sécante SA coupe la circonférence O on un second point B, et l'on a
