EXERCICES ET QUESTIONS DIVERSES

(cÉOlIfiTIUI DASS l’eSFACI.)

Problèmes divers.

9â . Toute droite également inclinée sur trois droites qui passent par son pied dans un plan est perpendicuiaire h ce pian ga ).

p. Soit la droite AB également inclinée sur les

J 9»- droites BC, BD, BE, qui passent par son pied

dans le plan P. Prenons les trois longueurs égales BC = BD = BE, et joignons les extrémités C, D, E, à un (wint A pris sur la droite AB. Les trois triangles ABC, ABD, ABE, seront égaux comme ayant un angle égal compris entre deiix cétés ^ux chacun à chacun. Les trois droites AC, AD, AE, seront donc trois obliques égales, et leurs pieds C, D, E, devront être à égale distance du pied de la perjicndiculaire abaissée du point de coucdfrs k sur le plan P (Géom., 162). Le point B étant le centre du cercle (^i p^c par les trois points C, D, E, est précisément le pied de cett0.i&r^diculaire, qui dès lors se confond avec la droite AB. *

93. Trouver le lieu géométrique ■rite pietU des perpendiculaires abaissées sur toutes les droites rt un planjpd concourent en un /xnnt donné, par un jMint extérieur à ce plan (jig. g3).

Soient le plan P, le point A dans ce plan, le point C hors de ce plan. Abaissons CB perjiendiculaiCe sur le plan P et joignons AB. CB étant perpendiculaire sur AB, le point B appartiendra au lieu. Menons par le point A, dans le plan P, une droite quelconque AD, et abai.ssons dans le plan A(]D la perpendiculaire CD sur’»AD«Si nous joignons BD, cette droite, d'après îd, théorème des trois perpendiculaires, perpendiculaire sur AD. L’angle ADB étant droit, le point D qui est un point quelcomiue du lieu, se trou- ^ vera sur la circonférence décrite dans le plan P sur AB comme diamè Ire. Il est évident d’ailleurs que tout poiht de cette circonférence appar' tient au lieu ; le Keu demandé est donc la circonférence AB.

91. Trouver le lieu géométrique de tous les points (fun plan dont la

Fie- 93.

a8o , CÉOMÉTKIE.

somme îles carrés des distances à deux points donnés hors du plan, est constante et égale à tn' (fig. 94).

Soient le plan P et les deux points A et B. Je projette AB sur le plan P en ab, et je suppose que le point C du plan P appartienne au lieu cherché. Les deux triangles rectangles AaC, B6C, donneront

AC’ = A«’-|-rtC>, BC’ = B6’-i-éC*, d'où, par addition,

AC’ + BC’ = A/P 4- Bi’ -+- aC’ -t- éC’.

AC’^-BC’ peut être remplacée parla constante m’, la somme Aa’ + BA’ est aussi une quantité constante. Les points du lieu doivent donc être ceux du plan P, dont la somme des carrés des distances aux deux points fixes a et b est égale à la constante

wP-(An’-f-Bé’).

Par suite, le lieu demandé est Une circonférence de cercle, dont le centre est au milieu d de ab et qui a pour rayon

On peut simplifier cette expression, en remarquant que ' An' -i-ad^ — \d^

et que

Bb' + bd'=:lid'.

Le rayon sera alors représenté par

m' — Ad'—bd\

95. Tmiircr le lieu géoinétrii/iic des points de Cespnee dont la différence des carrés des distances à deux /joints donnés est une i/iiantité constante

K fin- 95).

Soient A et B les deux points donnés. Menons par la droite AB un plan quelconque, et déterminons dans ce plan les droites CL et C'L' qui, lierpendiculaires à AB, constituent le lieu géométrique des points de ce plan dont la différence des carrés des distances aux points A et B est égale à la constante donnée {Ùéom., 109). Faisons alors tourner le plan considéré autour de la droite AB, de manière à le ramener à sa première position après une révolution entière. Le lieu géométrique demandé résultera de la réunion des surfaces engenrirées dans ce mouvement par les deux droites CL, C'L'. Ce lieu sera donc composé de deux plans menés perpendiculairement à la droite AB par les points L et L'.

On trouvera de même le Heu géométrique des /joints de Fcs/jacc dont la somme des carrés des distances à deux /joints donnés, A rt B est une

GÉOMÉTRIE. 281

quantité constante. En résolvant d’abord le problème par r<ipporl à un plan quelconque passant par la droite que déterminent les deux points fixes A et B, on obtiendra [Géom., 108) une circonférence de cercle dont le centre sera au milieu de AB et, si on la fait tourner autour de son diamètre, la surface sphérique engendrée représentera le lieu cherché.

96. Trouver le lieu géométrique décrit par le milieu iFune ligne droite MP de longueur donnée, dont les extrémités s'appuient constamment sur deux droites rtTtangulaires AB 9®- et CD, non situées dans un même plan

Soit EF la perpendiculaire commune aux deux droites AB, CD (Géom., 185). Par son milieu O, je trace OG parallèle à AB, OH parallèle à CD; l’angle GOH sera droit. Le plan de cet angle rencontre la droite MP dans sa position actuelle en un point I. Projetons les extrémités M et P en m et en p sur le plan GOH. Les triangles rectangles M/nl, P/>1, se-

ront égaux, puisqu’on a M/n = P/>=-^et

que les angles en M et en P sont altemes-intemes. Par suite, le point I sera à la fois le milieu de MP et le milieu do sa projection mpsur le plan GOH. De plus, cette' projection mp a une longueur constante. En effet, le

triangle 'rectangle M//1I ayant toujours une hypoténuse égale à — et un

El-

côté do l’angle droit égal à l’autre côté do l’angle droit ^ est aussi

constant. Le problème est ainsi ramené à chercher le lieu décrit par le milieu 1 de la dfoite/n^, dont les extrémités sont assujetties à décrire les côtés de l’angle droit GOH, lieu qui est une circonférence de cercle dont le centre est au sommet O, car 01 dans le triangle rectangle mOp est toujours la moitié de l’hypoténuse mp.

97. Une droite se mouvant parallèlement à un plan donné, en s'appuyant sur-deux droites données non situées dans un meme plan, trouver le lieq tics points qui divisent la droite mobile

dans un rapport tlunné^ {J’S- 9“)‘

~ Soient AB cl CD les deux droites données. Menons AE parallèle à CD, et coupons le système obtenu par un plan parallèle au plan directeur g donné. Ce plan coupera le plan des deux parallèles CD et AE suivant MN, et le plan des droites AB et .\E suivant NP : la droite MP représentera alors une position quelconque de la droite mobile.

Divisons MP au point X dans le rapport ^ Si l’on

trace XV' parallèle à MN, le point Y divisera NP dans le même rapport. Le lieu du point Y sera la droite AY, et le point X so trouvera dans le plan conduit suivant cette droite parallèlement à MN. Mais le point X appar-

GÉOMÉTIUE.

aSs

ticnl aussi à un plan parallèle aux droites AB cl CD, car on peut supposer suivant CD un plan parallèle à ÂB, suivant AB le plan ABE parallèle à CD, et l'on sait que trois plans i>arallèles divisent en parties proportionnelles toutes les droites interceptées par les deux plans extrêmes. Il en résulte que le lieu des points X, intersection des deux plans indiqués, est une ligne droite parallèle au plan déterminé par les directions AB et CD.

98. On déduit immédiatement de ce qui précède le théorème suivant ; Si r on ftivisc respectivement tes côtés op/sosés <P un qundrilutère gauche

dans des rapports donnés - ) — , i tes droites qui joignent tes points de

division des côtés opposés se croisent en un point qui divise chacune tPcties dans te mpfjort des segments des côtés qu'cites ne rencontrent pas {fig. q,%).

PM divise AB et CD dans le rapport Ces droites s'appuyant sur AD

et BC et étant parallèles à un certain plan que leurs directions déterminent, MP sera parallèle au plan déterminé par les directions AD et BC, et représentera le lieu des points qui partagent les droites glissant sur AD et BC parallèlement au plan qui correspond aux diiaclions AB et CD, dans

le rapport^ (97). Mais' NB, qui divise les cétés AD et BC dans le même rapport ^

( c'est-à-dire qui est parallèle au plan déterminé par AB et CD ), est nécessairement l’une de ces droites : elle coupe donc MP en un |K)int O. De plus, trois plans parallèles coupant deux droites quclcgnques en parties proportionnelles, on a la fois

NA “ OP PB ~ or’

Kig. 98.

99. Réciproquement, si par les points N rt R qui divisent les côtés opposés AD et BC fP un quadrilatère gauche ABCD en segments profmrtionncls, on fait passer un plan, ce plud rou/icra aussi tes deux autres côtés .\B et CD en segments profsortionncls [fig. gg '

Supposons que le plan conduit suivaiU NR coupe les côtés AB et CD en P et en M. Admettons que la projection du quadrilatère gauche ABCD sur le plan NMRP, soit représentée par le quadrilatère nbed. Les côtés ôrf, de, ch, ha, passeront respectivement par les points N, M, R, P, du plan N.MRP. Ceci posé, les triangles rectangles semblables MD>lr MCc donneront "

DM IW

cM Ce

De même, les triangles semblables P An, PBA,

GÉOMÉTRIE

donneront

Art

BP "

.Mais, en comparant les triangles rectangles NAo et NDf/, RBé et

on peut aussi écrire

.AN An

Bô