AF'’ AD'’ AB

Si l’on compare les suites de rapports égaux ( i ) et { a ) , il viendra donc '

tl - ^ ~

points / et rf divisent donc AB en trois parties égales.

De là on conclut immédiatement la règle suivante ; Si l’on veut partager le triangle ABC en m parties équivalentes, on divise l’un de ses côtés AB en m parties égales, et l’on décrit sur ce côté une demi-circonférence; par les points de division obtenus, on élève sur AB des perpendiculaires justju’à la rencontre de cette demi-circonférence. Puis l’on reporte sur AB, en iwrtant du point A, les cordes déterminées par ce même point et les points do rencontre des perpendiculaires avec la demi-circonférence. Enfin, par les nouveaux points ainsi marqués sur AB, on trace

des parallèles aü côté BC.

88. Étant donné un hexagone régulier, on mène les diagonales r/ui sotis-tendent successivement deux côtés. On demande quelle figure res fùagontlles ilétermincnt par leurs intersectio/is, et le rap/mrt de son aire à celle de 1 hexagone donné ( fig. 88. )

“ Soit l’hexagone régulier ABCDEF ; menons les diagonales AC, BD, CE, etc. IjNirs intei^tions formeront on hexagone intérieur w/î/x/n; il faut proui ^ ‘ fi ^1“® hexagone est régulier,

Les diagonales AC, BD, CE, etc., sont égales, >'1? ®*' f*® l'hexagone intérieur est le'

« y X ■ d’elles. En effet, considérons le côté

^ mn par exemple. Le triangle B/«/r est équiangle ,

, •Jjî’ip .ey c-'*" chacun de scs angles a pour mesure g de la

* ^ \ / circonférence OA circonscrite à l’hexagone pro-

^ J i.' posé. Par suite, mn = Bifi = B/». Mais les trian-

■ gles A m B et B/>C sont égaux et isocèles, fl en ré-

suite hm = Am et Bn = «C, c’est-à-dire mn = Les. côtés de l'hexagone mnpqrs sont donc égaux entre eux ; de plus chacun de ses angles a pour mesure la moitié des j ou i de la circonférence OA ; cet hexa-

gone est donc bien régulier.

i-iA*.

le

GÉOMÉTRIE

Deux hexagones réguliers étant semblables, on aura mnpqrs mn^

ABCDEF ~ AB>

É)n a d'ailleurs mn = ^ • Il viendra

par conséquent

Fig.. 89.

■ . mnpqrs i

■ABCbÉP~3'

89. Si, sur ctuicun des trois côtés tFun triangle rectangle ABC comme diamètre, on décrit une demi-ciramférence, la somma des croissants ou LO'tJLBS AmB/>A, AnCqK, sera éqiuvalente à Faire du triangle ABC (^g. 89). -,4

En effet, puisqu’on a BC’— AB’ 4- AC’, on a • aussi

irBC’ TT AB’ wAC’

c’est-à-dire que le demi-cercle décrit sur l’hypoténuse du triangle est feal à la somme des demi-cercles décrits sur les côtés de l’angle droit. Si* l’on enlève de part et d'autre les parties com- , rounes A/>B, AyC, il reste le triangle rectangle équivalent à la somme. • des deux lunules. ,

’ 90. Étant donné un cercle , lui mener un cercle tangent intérieure-^'' ' ment et qui divise sa surface en dette parties proportionnelles à des lignes^ ■ donrtées p et q [Jig. go). . *• .

Fig. 90. Si R et X représentent les rayons du cercle donné et'* du cercle cherché, un devra avoir *

c’est-à-dire

îtR’-kx'

fl =-£-

La question est donc ramenée à construire un carré qui suit à un carré donné dans un rapport donné (Cc’o/n., 151).

Si les deux parties devaient être équivalentes, on aurait ~

x’ I Ri/â

Rï-i’

X serait alors l'apothème du carré inscrit dans le cercle proposé.

Si le cercle cherché devait être une moyenne proportionnelle entre le cercle donné et leur différence, c’est-à-dire s’il devait le diviser en moyenne et extrême raison, il faudrait écrire

irR’ irx’ J. ’ R’

nx’ ttR’ — Jrx’ x’ R’ — x’

on arrive, par suite, à l’équation bi-carrée

CÉOMÉTniE.

Si r’ctail, au contraire, I» différence des deux cercles qui dit être moyenne pmftortionnellc, on aurait • ,

rR» ' TrR»-ux» , R’ R>-j:>'

• JT R’ — ■nx’

On en déduit ou

puisque Rx est une quantité nécessairement positive. Do l'équation x’-p-Rx — R’ = o,

-r + v'Tîv

d'où

7TX‘

R’x’ = (R’-x Rx = R’-x»

on Ure

Dans ce cas , x est le côté du décagone régulier inscrit dans le cercle donné (Géom., i29).

91. Partager la surface d’un cercle en m parties dÿuivalcntes (Jtg. 91). On n'aura qu'à partager le diamètre AB en m parties égales ; puis sur chaque division, à partir de A, on décrira des demi-circonférences au-dessus de AB et, à partir de B, au-dessous jàB AB. Les surfaces compriles entre deux lignes consécutives telles que kmatn'B, knbn'B, seront équivalentes entre elles et à la wj'"' partie du cercle donné. »<■

En effet, l'aire qui correspon3 & la k""" division du diamètre, par exemple, est : au-dessus de ce diamètre

Hc- 9'.

I JT ,

f . ABN

i’ I ÎT 1

[il

jtAB> , , .

En faisant là'Rommo des deux expressions, on obtient pour l'expression " de cette aire

■ . I JT AB’

R est facile,de voir que chacune des lignes kmam'B, knhn'B, est égale à Is demi-circonférence proposée. On a, en effet, 'en considérant encore la k^ division : pour la demi-circonférence au-dessus du diamètre AB,