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Le théorème est donc démontré.

Questions sur la sphère.

sphère

Fig. Il

m. Tout tétraèdre est inscriptible et circonscriptible à la (fig. iio).

Nous avons démontré ( Céom., 263) que, par quatre points non situés dans un même plan, on pouvait toujours faire (lasser une sphère et une seule. Il en résulte que tout tétraèdre SABC est inscriptible à la sphère.

Les six arêtes du tétraèdre sont des cordes de la sphère circonscrite. Par conséquent, si sur ces arèlcs et par leurs milieux, on élève des plans perpendiculaires, ces plans viendront passer par un même point qui sera le centre de la sphère déterminée par les quatre sommets du tétraèdre.

Tout tétraèdre est aussi circonscriptible à la sphère. Menons, en effet, les trois plans bissecteurs des angles dièdres déterminés par la base ABC et les trois faces latérales du tétraèdre SABC. Ces plans détermineront un nouveau tétraèdre OABC, dont le sommet O sera le centre d’une sphère tangente aux quatre faces du tétraèdre donné; car, d’après les propriétés des plans bissecteurs (lOf ), ce point O sera à égale distance des quatre faces. Le point O est d’ailleurs unique. Donc, à un tétraèdre donné, on ne peut inscrire qu’une seule sphère qui aura pour rayon la perpendiculaire 01 abaissée du point 0 sur la base ABC. On voit par là, puisqu’on peut prendre pour base du tétraèdre telle face qu’on voudra, que les six plans bissecteurs des angles dièdres d’un tétraèdre concourent en un même point, centre de la sphère inscrite.

Eu SC reportant à ce que nous avons dit relativement au triangle (42 ), on verra qu’on peut obtenir quatre autres sphères dites ex-inscrites, chacune tangente à l’une des faces du tétraèdre donné et aux prolongements des trois autres faces. 11 existe en outre trois autres sphères tangentes aux prolongements des quatre faces.

On SC rendra facilement compte de l’existence possible de ces huit splières tangentes aux faces du tétraèdre ou à leurs prolongements, en remarquant que les points situés à égale distance des quatre faces du tétraèdre SABC doivent se trouver, à la fois, sur Tune des quatre droites dont l’ensemble constitue le lieu géométrique des points à égale distance des trois faces di* Tangle triédre en S, et sur Tun des deux plans bissec-

aiuMÉTniE.

leurs des angles dièdres formés par la base ABC avec l’une des faces • latérales. ’

Les cinq sphères inscrite et ex-inscrites existent toujoiirs; il n’en est pas de même des trois dernières, dont les rayons peuvent devenir infinis. Nous laisserons de côté cette discussion ( * ).

112. Tout polyèdre règuJier est inscriptible et circonscriptible à la sphère (fg. ni).

Soient ABCDE, jVBC'D'E', ■deux faces contiguës du polyèdre régulier considéré, O et O' les centres de ces faces. Los perpendiculaires OK, O'K, abaissées des centres O et O' sur le côté ou la corde commune AB, passeront au même point K de cette corde et détermineront un plan qui, perpendiculaire à AB, le sera aux tjeux faces considérées et contiendra les per- |>endiculaires C)S, O' S, menées respectivement à ces faces par leurs centres. Ces perpendiculaires se couperont nécessairement eu un point S. Les deux triangles rectangles KOS, KO'S, étant égaux comme ayant l'hypoténuse KS commune et un côté de l’angle droit égal (OK = O'K), KS sera bissectrice de l’angle OKO’ qui mesure le dièdre ou l’inclihaison de deux faces adjacentes du polyèdre.

Ceci posé, considérons la face O" du polyèdre qui a en commun avec la face ABCDE le côté CD. Le plan mené perpendiculairement au milieu L du côté CD, contient les apothèmes OL, O’L, et la per|iendiculaire OS à la face ABCDE. Joignons le point S au centre O". Les deux triangles rectangles KOS, LOS, étant égaux, l’angle OLS sera ^1 à l’angle OKS, c’està-dire qu’il' sera la moitié de l’angle OLO*, puisque dans un polyèdre régulier l’inclinaispn de deux faces adjacentes est constante. Les deux triangles LOS, LO*S, seront donc égaux à leur tour, comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacen à chacun. Par suite, la droite SO' sera perpendiculaire sur O’L, c’est-à-dire sur la face CDU', et elle sera égale à SO.

En continuant ainsi de proche en proche, 011 prouvera que l6 point S' est à égale distance de toutes les faces du polyèdre régulier donné. De plus, puisque ce point est le point de concours de toutes les perpendiculaires élevées par les centres des différentes faces à ces mômes faces, il sera aussi à égale distance de tous les sommets du polyèdre (Gèom.,i6i). ( Par conséquent, le point S représente confondus le centre de la sphère * inscrite et celui de lu sphère circonscrite.

Fig. MI.

113. Si r on fait passer, par un fmint pris dans C espace, trois droites deux à deux perpendiculaires, la somme îles carrt-s des conles interceptées sur ces trois droites par une-sphèrr donnée, sera constante.

Remarquons d'abord que, dans un parallélipipèdc rectangle, la .somme des carrés des diagonales e.rtérieure\ qui partent d’un même sommet, est égale à dçux fois le rarré d’une diagonale intérieure (Jïg. in j.

(*) On pourra consulter ivec Truit sur ce lujel la Note Ciomftcùs deuriplirt de MM. Gerono al Caatonac.

des Kltmentt de

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•^9^ UÉOMÉTaiE.

Eli effet, les triangles rectangles AUG, AFG, ACG, donneront

Fie. in.