AIE = AG’- GH’.- AF’ = AG’ -GF’, AC’ = AG’-GC

AH’ + AF’ + AC = 3 AG’ - (GU’-t- GF’ -b GC’ ). Mais on a [Géom., 20A) ;

AG’ = GH’-f-GF’4-GC’;

par suite ,

AH’ + AF’ + AC = a AG’.

Ceci posé, la somme des carrés des moitiés des cordes interceptées sur les trois droites données par la sphère considérée, sera égale à trois fois le carré du rayon de la sphère, moins la somme des carrés dos perpendiculaires abaissées du centre de la sphère sur ces mêmes cordes. Or, les trois droites rectangulaires qui passent par le point fixe donné, déterminent trois plans deux à doux perpendiculaires; et si l’on mène par le centre de la sphère des plans parallèles à ceux-là, on formera un parallélipipède rectangle, dans lequel le contre de la sphère et le point fixe seront des sommets opposé. De plus, les perpendiculaires abaissées du centre de la sphère sur les cordes interceptées, seront précisément les diagonales des faces de ce parallélipipède, qui passent par le centre de la sphère. En appelant r/la distance de ce centre au point fixe cl U le rayon do la sphère, la somme des carrés des moitiés des cordes sera donc égale, d’après la remarque précédente, à 3 R’ — ar/’, et la somme des rftrrés des cordes à quatre fois celle quantité, c’est-à-dire à laR’— 8rf’.

On a une vérification immédiate do ce résultat, en supposant le point donné au centre do la sphère.

IM. iMrsf/iie trois sphères SC coupent deuT à deux, les plans des trois cercles iPinterscction /tassent par une même droite /tcr/icndirulaire nu /dan /léterniiné /tar les centres des trois sphères.

Nous savons en effet que deux sphères se coupent suivant un cercle dont le plan est perpendiculaire à leur ligne des centres { GeVim., 262). Les trois cercles d'intersection des trois sphères seront donc respectivement perpendiculaires aux droites qui joignent les centres de ces sphères deux à deux et, par suite, au plan commun des trois centres. De plus, les diamètres des cercles d’intersection, conies communes des grands cercles générateurs des trois sphères, se croisent en un même point, centre radical de ces grands cercles (63). Donc, les trois plans considérés ayant un point commun et étant peiqiendiculaires au plan des centres, leur intersection est une droite passant |iar ce point et perpendiculaire à ce plan.

Fig. il3.

lld. J nyit'cr hr lieu //éomélriquc des centres des sections faites dans une s/dicre /tar tous les /dans t/ui /ta.ssent /tar une droite donnée ( fig. 1 1 3 ) .

Par la droite donnée AR, je mène un plan quelconque qui coupe la sphère suivant un cercle dont le centre est 1. .Menons dans ce plan, par le point I, une droite IL perpendiculaire à AB. D’après le théorème des trois pcr^ndiculaires, 0 élanl le centre de la sphère, OL sera per|iendirulaire .sur AB ainsi que le plan OlL. I/' point I s<* trouvera donc à la fois dans ce \t\m fixe OIL Pt sur la circonlérenc.e décrite sur la distance p.re OL comme diamètre. Cette circonférence

GÉOMÉTRIE. ^ ay3

est donc le lieu demandé, le point L est exlérieut' à la sphère, il e.sl évident qu'une partie seulement de celte circonférence comi>ose le lieu demandé. *

Si l’on demande le lieu géométrique dos centres des sections faites dans la sphère par tous les plans qui passent par le point donné L, le plan ÜIL n'est plus astreint qu’à passer par la droite OL, et le lieu cherché est la surface sphérique décrite sur OL comme diamètre ou la portion de celte surface comprise dans la sjihère proposée.

Fig. 114.

il 6. Les tangentes menées à la sphère par un point extérieur S sont égales, et leur ensemble forme une surface conique de révolution dont Taxe est la dnnte qui joint le point donné au centre de la sphère [fig. 1 1 4 ) • ,

Menons par le point S des grands cercles de la sphère et , par ce point , une tangente à chacun d’eux. Ces tangentes seront égales eu vertu de l’égalité des triangles reclangles SAO, SHO, S<20, (]ui entraîne celle des angles ASO, r.S<X et des hauteurs, AI, 111, CI. Parsrtite, le lieu géométri(pie des tangentes considérées .sera bien une surface conique ayant SO pour axe et louchant la sphère suivant un petit cercle de rayon lA, perpendiculaire à SO; c’està-dire que lo ccrclq,de contact est un /ww/Zé/c commun aux deux siir--^ faces.

De même, le lieu des tangentes menées h la sphère ixirullèlehicnl à udé.-

Fig . 1 1 5 .

direction donnée, est une surface cylindriquç de révolution, dont Paxe est le diamètre xy de la sphi-re parallèle à la direction (humée (Jlg. ii5). Car, si l’on mène par lo centre O un plan ABC. IKjrpcndiculaire au diamètre xy, et qu’on trace par les différents points de la circonférence de grand cercle obtenue des parallèles à xy, ces parallèh*s seront (comme MN l'est au rayon OC) respcclivemant perpendiculaires à l’extrémité des rayons correspondants, c’est-à-dire tangentes à la sphère .proposée. Le cercle de contact dos deux surfaces tangentes sera le gr.iml cercle ABC.

•Ss.

117. Par une droite donnée, mener un plan tangent h une sjthèrr \Jlg. 116).

Si la droite donnée est tangente à la sphère considérée, il suffira do faire passer parle point do contact un plan i>erpendiculairu au rayon correspondant : ce plan sera le plan tangent demandé ( Oe'o/n., 2(>1 ).

* Si la droite donnée est extérieure à la sphère, on Ini mènera par le cent^ de là sphère un plan perpendiculaire, qui la coupera au point C et c déterminera dans la sphère un grand cercle MOM'. Par le point C, on mènera à ce grand cercle les tangentes C.M et CM'. La droite AB et chacune de ces tangentes délermincront deux

(iÉOMÉTRIE.

plans qui rëpondronl à la question. En effet, le plan ACM, par exemple, est perpendiculaire au plan MÜM' puisqu’il contient AB; et il est per- )>enciiciilairc au rayon (>M au point M, puisque ce^ynn est perpendiculaire à la tangente MC intersection des plans perpendiculaires A(^ et

lift. Mrnrr à deux sphères un plan tangent commun (Jîg. 117). Menons par les centres C et C' des deux sphères un plan quelconque qui les coupera suivant deux grands cercles. Les centres de similitude O

seront parallèles, et dès lors la droite qui joindra leurs extrémités ira passer au point O ou au point O', suivant que les rayons considérés seront ou non dirigés dans le même sens. I.c plan tangent qui contient MM’,

Pendant que les cercles C et C' engendrent les deux' sphères, les tangentes communes à ces cercles engendrent deux surfaces coniques de ré- ' volulion ayant pour sommets les centres do similitude O et O', et tangentes aux deux sphères (H6). Tout plan tangent apx deux sphères, le sera à Tune ou l’atitre des deux surfaces coniques, et réciproquement (im/rla Gèpmêtrie descriptive, t. 111).

Le problème <ju’on vient de résoudre permet de mener, par un /x>inl iliinnè, un plan tangent commun à deux sphères données.

En effet, soit A le point donné. Tout plan langent commun aux deux spheres devant passer par l’un des centres de similitude O et O’, la question sera ramenée à mener à l’une des sphères, par la droite AO ou la droite AU', un plan tangent qui le sera aussi, d’après cf qui précède, à l’autre sphère.

11!). Si une surface conique S pénètre dans une sphère suivant une circonférence, elle en sortira aussi suivant une autre circonférence

l’ar l’arète SM, faisons passer un gram

MOM'.

Fig. 117.

et O' de ces grands cercles seront aussi les centres de similitude des deux sphères ( 71 ).

Tout plan tangent commun aux deux sphères passera par l'un ou

O l’autre de ces centres de similitude.

En effet, les rayons CM, C'M', correspondants aux points de contact M et.M'dece plan avec les deux sphères.

ira donc lui-même passer par le point O ou le point O'.

On voit que le problème proposé admet une infinité do solutions.

Fifi. 118.

"Si-

Si la courbe â'entrée CND est une circonférence, je dis que la courbe de sortie A.MB sera une autre circonférence. Soit SNM une génératrice de la surface conique. Je trace SH perpendiculaire sur le plan CND, je joins le point H au [loint N, et je mène ML perpendiculaire sur SM jusqu’à la rencontre de SH prolongée. Le quadrilatère LMNH sera inscriplible, et l'on aura

CÉOMÉTKIE. .

agS

grand cercle, par le sommet S, menons la tangente ST. Nous pourrons écrire