SH.SL = ST

SH et ST sont des longueurs ronslantes, il en sera 'donc de mùme d# SL. L'angle SML étant droit, le point M appartiendra à la fois à la sphère donnée et à la sphère dérrite sur SL comme diamètre. La courbe AMB, intersection de deux surfaces sphériques, sera donc bien une circonférence de cercle ( Géom., 262 ). ‘

Si le sommet de la surface conique s’éloigne indéfiniment do la courbe CND supposée fixe, en glissant le long de la génératrice SD, cette surface dégénère en surface cylindrique ayant CND pour base et SD pour génératrice. Par conséquent, la courbe tPentrée ePune surface cylindrùiue dans une sphère étant une circonférence de cercle, il en est de même de la courbe de sortie.

" Des polyèdres réguliers.

120. Nous avons vu (Géoin., 276] qu'on rapportait les triangles ou polygones sphériques au triangle tri-rectangle, les pyramides sphériques quelconques à la pyramide tri-rectangle, et que ces pyramides étaient proportionnelles à leurs bases (Géom., 282).

Il est évident que les angles polyèdres qui correspondent à ces mômes pyramides, sont aussi dans la proportion de leurs bases; et, pour comparer deux angles polyèdres quelconques, on peut placer leurs sommets au centre d'une mémo sphère , et comparer les polygones sphériques interceptés.

De sorte qu'en prenant à la fois, pour unité d'aire le triangle tri-rectangle, et pour unité d'anglo polyèdre l’angle trvèdre tri-reclanglo,si l'aire

du polygone sphérique intercepté cst^i l’angle polyèdre correspondant

sera aussi les - de l'angle triédre tri-rectangle.

Nous savons ce qu'on entend par angles trièdres supplémentaires et quelles sont leurs propriétés ( G(fo/»r., 1D0). Il est clair qu’un angle polyèdre quelconque étant donné, il existe un angle poljèdrc supplémentaire, et qu’on le formera aussi en abaissant d’un point pris dans l'inté- •• rieur de l'angle polyèdre donné des peri)cndiculaires sur toutes ses faces.

121. Ceci posé, on doit à Df.scabtes le théorème suivant (Note do M. Prouhet, Com/Mcs rendus des séances de Pjdcadémie des Scienecs, s3 avTÜ i86o) :

De même t/ue dans un polj gonc plan «oni’cxe, la somme ries angles extérieurs est égale à quatre nnf^les plans droits {Géom., 39), de même dans un polyèdre convexe, la somme des angles polyèdres supplémentaires de ceux du polyèdre proposé est égale à huit angfes trièdres tri- l rectangles.

En effet, si d'un point O pris dans l'intérieur du polyèdre,- on abaisso des perpendiculaires sur toutes ses faces, on formera tous les angles polyèdres supplémentaires des angles polyèdres du pdyedre donné. Mais renserablc de rcs angles polyèdres suppléméhtaires remplit fout l'espAcu

GÉOMÉTIllE.

autour du jjoinl O, c’c9l-à-<iire intercepte sur une sphère idéale quelronque cette sphère ellc-mèmo. Le théorème est donc établi.

. iü. \ oyons quelles conséquences on peut déduire de ce remarqual^le théorème.

Dans la géométrie plane, c’est la connaissance de la somme des angles intérieurs d’un pelygonc qui nous a conduit à la valeur do la somme de ses angles extérieurs. Ici, au contraire, la valeur de la somme des angles . polyèdres supplémeutaires va nous permettre de trouver la somme des angles de toutes, les faces du polyèdre, en d’autres termes la somme de ses angles plans.

La somme des angles d'un polygone sphérique de n côtés étant S,, l'aire de ce polygone a pour expression abstraite S, — a «-+-4. Telle sera donc aussi l'expression de la valeur d’un angle polyèdre ayant n faces ou n arêtes (lio). S, représentera alors la somme de ses angles dièdres.

S, représentant la somme des dièdres de l'un des angles polyèdres sup> plérnentaircs considérés, désignons par S' la somme des faces ou des angles plans de l'angle polyèdre qui lui correspond sur le polyèdre donné.

On pourra remplacer chaque angle dièdre de l'angle polyèdre supplémentaire en fonction de la face supplémentaire de l’angle polyèdre du polyèdre proposé, c’est-à-dire la somme S, par arf — S'. La valeur de l’angle polyèdre supplémentaire deviendra, en faisant cette' substitution dans l’expression S, — -f- 4 et en, simplifiant ,

En faisant le mémo raisonnement pour les autres angles polyèdres supplémentaires et en faisant la somme de leurs valeurs, nous aurons, d’après le théorème de Descaries (431 ), et en représentant par S le nombre des sommets du polyèdre, |>ur I’ la somme de tous scs angles plans,

d'où ' r

Ce qu’on peut énoncer en dxsani'i de tous les angles plans d'un

polyèdre convexe est égale à nulantae fois quatre angles droits qu’il a de sommets moins deux. ’

Pour le tétraèdre, il faudra faire S =4. et l'on trouvera P = 8; pour le parallélipiiwde, S = 8 et P= a4.

123. Cherchons une relation entre le nombre des sommets, celui des faces et erlui des arêtes du polyèdre.

Soient/, q,p, h,..., les nombres do faces triangulaires, qiuuirangulaires, pentagonales, hexagonales, ... , existant dans le polyèdre. On aura { Géom., 39) :

P = 2 / -l- 4 q -f- fi P “I" 3 h . . . ,

puis()u'à chaque triangle corresi>ondent en somme 2 angles droits, à chaque quadrilatère 4 angles droits, etc. Substituant cette valeur de P dans la relation (>)du n" 122, il viendra

Soient E le iKinibrc des fa«e.s et .\ le nombre des arêtes du polyèdre,

GÉOMÉTRIE. 297

on aura

Le second membre de la dernière expression comporte le diviseur 2, parce que chaque arête fait nécessairement partie de deux faces adjacentes. On déduit de là

c’est-à-dire, d’après la relation ( a ),

expression du Théorème d’EuLBR, qu’on peut énoncer sous cette forme : En diminuant de 1 le nombre des sommets tlu polyèdre, on obtient t excès du nombre des arêtes sur celui des faces.

124. Il est facile, en se servant de la relation (3), do prouver qu’il n’existe aucun polyèdre convexe dont toutes les faces aient plus de cinq côtés ou dont/ofu' les angles aient plus de cinq faces, et d’en déduire une conGrmation du raisonnement par lequel noos avons établi ( Gèom., 198) qu’il ne pouvait y avoir plus de cinq polyèdres réguliers. Nous nous contenterons ici de chercher le nombre des faces de ces polyèdres réguliers, en admettant leur existence.

Désignons par c le nombre de côtés des faces dont la quotité est F dans le polyèdre régulier considéré, par f le nombre de faces ou d’arétes des angles polyèdres dont la quotité est S dans le môme polyèdre. Nous aurons, A étant toujours le nombre de ses arêtes.

c’est-à-dire

Substituant dans la formule d’Euler, il viendra

d’où

ac/

2C-f-2/ — cf

Nous savons qu’on peut former trois polyèdres réguliers avec des triangles équilatéraux, en en assemblant 3, 4 ou 5, autour d'un même (wint. Nous devrons donc faire, dans la formule {a), c = 3 en même temps que /= 3 où 4 ou 5. Nous, obtiendrons d'aboni

r.ÉOWÉTRIE.

ay8

et nous en déduirons :

pour /=3 K— 6, F = 4, S= 4;

pour /=4 A=ii, F= 8, S=s 6;

pour /=5 A = 3o, F = ao, S= la.

Le tétraèdre régulier aura donc quatre faces , V octaèdre régulier aura huit faces, et \' icosaèdre régulier en aura vingt.

Nous savons qu’on ne peut former qu’uA polyèdre régulier avec des /arcs carrées, ea en assemblant 3 autour d’un même point. Si nous faisons c = 4 dans la formule générale (a), il viendra

On voit qu’on ne peut en effet donner à / que la valeur 3. On obtient alors pour Vhejcaèdre régulier

Â= la, F = 6, S= 8.

Enfin, on ne peut former qu’«« polyèdre régulier avec des fa< rs pentagonales, en en assemblant 3 autour d’un même point. Si l'on y fait c— 5, la formule (n) donne

* lo- 3f

et l’on voit encore qu’on ne peut en effet donner à J d’autre valeur que 3. On en déduit, pour le dotlécaèdre régulier.

A = 3o, F=ia, S = ao.

IS.’i. Nous allons maintenant prouver l’existence des cinq polyèdres réguliers, par In construction même qui permet de les obtenir.

Tétraèdre régulier. Il suffira d’élever au centredu triangle équilatéral pris pour base du tétraèdre, une perpendiculaire telle, que la distance de son extrémité à l’un des sommets de ce triangle soit égale à l’arête donnée.

Octaèdre régulier. Soit a le côté du triangle équilatéral employé. On formera un carré de côté a. On élèvera au centre de ce carré une per- (lendiculairc indéfinie, sur laquelle on prendra de part et d'autre du cen-

ny/%

tre une longueur égale au rayon du carré, c’est-à-dire à , puis on joindra les extrémités obtenues aux sommets du carré. Les huit arêtes ainsi tracées seront égales entre elles

etàv/^

lé , lté . , ,,

- — I — — = a, puisqu elles 4 4

sont toutes hypoténuses de triangles recfanglos isocèles ayant pour côtés de l'angle droit le rayon du carré. Elles formeront donc, ensemble et avec les côtés du carré, huit triangles équilatéraux égaux et également inclinés.

On peut remarquer, d’après cette construction, que trois droites égales perpendiculaires entre elles, et se coupant en leur milieu, ont pour extrémités les six sommets d'un octaèdre régulier. ■

Icosaèdre regidier. Formons un pentagone régulier BCDF.F 119) ayant pour côté l’arête a, côté du triangle équilatéral donné AUC. Au centre d« ce pentagone élevons une per[)endiculaire OA, ’saii; fciqtiello nous déterminerons un point A tel, que la distancé AB soit égaleà a. En joignant ce point A aux sommets du pentagone, nous formerons cinq triangles équilatéraux égaux à ABC, assemblés autour du poinl-A et également incliiu^.

GÉOMÉTRIE

Rcmar(|uons que l’anple CAF est égal à l’anple du pentagone BCÜEF, puisque les triangles FAC, BCD, sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. On pourra donc sur CA et sur AF achever un pentagone CAFOIl identique au précédent. Iæ point B étant à la distance a des sommets C, A, F, appartiendra à la perpendiculaire élevée au centre du nouveau (>entagune, et les distances BU et Bll seront aussi égales à a. Knfin, les quatre points D, A, B, U, étant dans un mémo plan, on pourra sur DA et sur AB achever le pentagone DABHI identique aux doux précédents. En effet, les diagonales d’un pentagone régulier qui ne partent jtas d’un même sommet, se toupent mutuellement en moyenne et extrême raison. BD coupe CF de cette manière en un jwint K qui doit alors appartenir à la diagonale AH. Cette diagonale est donc dans le plan DAB. Le point C sera d’ailleurs, pour le pentagone D.ABHI, ce que sont les points A et B pour les deux autres, et l’on aura Q = a.

On obtiendra ainsi en tout dix triangles équilatéraux égaux et également inclinés, formant une moitié de l’icosaèdre; et les sommets de la ligne terminale DEFGHI réuniront successivement etr/rax triangles. ()n peut remarquer que celte ligne terminale est f’auchc. Car, si les quatre points D, E, F, G, étaient dans un même plan, les deux pentagones BCDEF, CAFGH, qui ont déjà dans le plan DEF les sommets C et F communs, seraient tous deux dans ce même plan qui contiendrait alors le sommet A: conséquence absurde d’après ce qui précède.

Ceci posé, on peut construire de la même manière l'autre moitié de l’icosaèdre. Seulement, en rapprochant les deux calottes [wlyédrales et en les joignant par leurs lignes terminales, on fera correspondre les sommets où se réunissent trois triangles dans l’une et deux triangles dans l’autre; de sorte qu'on aura, en chaque sommet du polyèdre complet, cim) triangles équilatéraux égaux et également inclinés.

Hexuèslre régulier. Il suffira d’élever, par les sommets du carré ayant pour côté l’arète donnée a, quatre peri>endiculaircs à son plan égales à ti et d’enjoindre les extrémités.

Dodécaèdre régulier. Avec trois pentagones réguliers égaux, ayant pour côté l'arétc donnée «, on formera en A lao) un angle Irièdre dont les dièdres seront égaux entre eux. Avec d’autres pentagones identiques aux précédents et en employant les faces déjà construites, on formera en B, C, D, E, des angles trièdres égaux à l’angle irièdre A. Le pentagone ABCDE sera commun à tous les trièdres; le second, le troisième et le quatrième trièdre nécessiteront l’addition d’un nouveau pentagone. Le dernier angle trièdre en E se trouvera tout formé. Nous aurons ainsi une moitié du dodécaèdre, composée de six pentagones r^l^uliers égaux et également inclinés. Les différents sommets de la ligne terminale gauche FGHIKLMNPR correspondront successivement à un et à deux pentagones. ' ^

On construira de la même manière la scrondc moitié du dodécaédfc.

Fî0

3oo

GÉOHÊTaiE.

Seulement, on joindra les lignes terminales des deux moitiés, de manière à réunir les sommets correspondants à un seul pentagone sur l’une et à deux sur l’autre; on aura ainsi, en chaque sommet du polyèdre complet, trois pentagones réguliers égaux et également inclinés.

126. On peut demander de trouver Findimnson de deux faces adjacentes (Fun polyèdre régulier. On y parviendra facilement en se reportant au n° 105.

Le problème est immédiatement résolu pour l’hexaèdre où l’angle de deux faces adjacentes est droit.

Pour le dodécaèdre, à chaque sommet correspond un angle trièdre, et les faces de ce trièdre sont des angles de pentagone régulier. Il reste donc à chercher le dièdre d’un trièdre dont les trois faces égales sont connues. On trouve, graphiquement ou par le calcul trigonométrique , que l’inclinaison de deux faces adjacentes d’un dodécaèdre régulier est égale à

Fig. I3I.

Il 6“ 33' 54”, 2.

Pour les trois autres polyèdres réguliers, on peut suivre une marche analogue ou avoir recours aux procédés suivants.

Tétraèdre. Si l'on joint les sommets'S et C au milieul de l’aréte AB \fig. lai), l’inclinaison cherchée sera mesurée par l’angle SIC. Il suQit donc do construire le triangle isocèle SIC donc on connaît les côtés. On trouvera ainsi, par la mesure directe ou le calcul trigonométrique, pour l'inclinaison cherchée 70" 3i' 43*)6. {Le triangle rectangle SIK

donne sin - ■

Octaèdre. Si l’on joint les sommets A et C {fig. 122) au milieu I de

Fig. 1Î2.

l’arète SB, l’angle AIC mesurera l’inclinaison cherchée. Il suOira donc de construire le triangle ‘isocèle Aie dont on connaît les côtés. On trouvera ainsi, par la mesure directe ou le calcul trigonométrique, io9“ 28' iü',4. (Le triangle rectangle AlO donne