Soit l’expression

n bi.

On peut toujours poser

a=pcosij> et i = psiny..

En effet, quelles que soient les valeurs réelles de a et de b, on déduira toujours de ces relations une valeur positive de p 'qui sera

et une valeur do <p comprise entre o et air, qui dépendra de l’équation

tang y

Pour obtenir ces valeurs, il suffit d’ajouter membre à membre les carrés des relations posées, et de diviser ces mômes relations membre à membre. Réciproquement, si l’on a

P = \fa‘‘-\-li‘ et tang y --- -,

on en déduit

cosy =

siny =

-l-v/i -1-tang’y . tang y + V^i -1- tang’ y

Par conséquent.

a — f cos y et

A = P sin y.

Ces résultats coïncideront avec les relations prises pour point do départ, si l’on a soin de choisir pour y celui des deux angles qui, ayant pour tangente-, a son sinus de même signe que b. C’est ce 'qu’on vérifiera facilement.

Il est donc démontré que toute expression imaginaire peut être mise, et d’une seule manière, sous la forme

P (cosy + i siny).

P = \/ a' -1- A’ est le module de l’expression imaginaire ainsi transformée (73), y en est rargiunent.

Les quantités réelles rentrent dans cette forme ; car on a

. -I- A = A ( cos O -i- ï sin O ) ,

— A = A (cosTT +/sin7r).

8C. Pour miilli/ilirr dett.r expressions iwnginnires sous forme trigonn-

COMPLÉMENT d’aLCÉBUE. 4^3

métriqHe, il suffit de mullijiUcr leurs modules et (F ajouter leurs argu- ■ments. '

On a, en effet (72) : ^

P (cosÿ -)-/sin(ji) X p'(coSŸ' + isinŸ') = pp'[cos(y 4-^') isin (y-f-îf')].

RéciproCiuemcnt, pour diviser deux expressions imaginaires, il suffit de diviser leurs niodides et de retranelwr leurs arguments.

87. D’après le théorème précèdent, le produit (Fautant de fartciirs imaginaires <pFon voudra, s'obtient en multipliant tous les modules et en ajoutant tous les arguments.

Si Fon considère m facteurs et si tous deviennent égaux, il faut élever le module à la puissance m et multiplier Fargument par m.

On a donc

[p (cosy siny)]" = p"(cos/»iy + ' sin/»y ).

Si, en particulier, on suppose le module égal à i, il vient ( cosç + i sin Ÿ )" = cos m y + 1 sin m ÿ-

Cette égalité constitue la formule de Moivre (*).

88. Cette formule est vraie que m soit entier ou fractionnaire, positif ou négatif. Je dis d'abord qu’on a bien

( cos » + / sin » ) = cos - -t- < sin - •

' ■ VP

En effet, élevons les deux membres de cette égalité à la puissance p. Le premier membre deviendra cos!f + /sinŸi et il en sera de même du s«‘cond en appliquant la formule précédente (87) , ce qu’on a le droit'de faire puisque p est supposé entier^et positif.

On a aussi

, . . .P ntst . . m<a

(cos®+ /sin-f ) == cos — ^4-'sm — -t

puisque, pour élever à la puissance — j il faut par déOnition élever d’a- *

bord la quantité considérée >k la puissance puis le résultat obtenu à 1a

puissance m.

Enfin,

(coso + isinç)~"= cos( — n»'5>)4-f sin (— «i^).

,r.ar .

(COSiy + ISin ?)-"=; ••

(cosf + jsm?) cos/wy + j sin/«Ÿ Or on peut remplacer i par coso-f-fsino, d'où (86) coso4-«sino

(COS9+ 'Sin?)'”’ =

cos/w?-(-ism«JŸ

= cos (— «I y) -fl sin ( — w^)

(")On remarquera l’aDalogic frappante d» proprioli'» precedente» avec celles de» ln|>arithme».

Digiiizeci by

464 COMPLÉMKHT u'aLOÊBHE.

8!1. Il PsI pssentiel do rpmarquer que le premier membre de l'égalité

(ros» 4- isins')^ =r cos ~ -|- l'sin - P P

admet p valeurs différentes (82), puisque ce premier membre revient à

^cos'f -H isiu?, tandis que le second membre n'en admet qu’une seule.

Pour que la formule soit générale, il faut remplacer ç par + k étant un entier quelconque. Il viendra alors

, .p aiir 4- !

[ fos^ 4- (Siny) — cos

et en remplaçant k par une valeur quelconque, le second membre donnera l’une des p valeurs du premier. On aura bien, en effet (87),

cos