On a, d’après la convention faite

On obtiendra donc périodiquement les mêmes résultats, de sorte qu’on tcut écrire, p désignant un entier quelconque,

= (i'Y = I, {v/IT7)»r^' - i'p,i = J/CTT =: j,

72. En combinant les deux expressions a + bi, c + rfi, par voie d’addition, de soustraction, de multiplication et do division, on trouve des résultats de même forme que les expressions proposées.

On a, en effet,

(a bi) ± (c + di) = {a :ii c) + {b ± (i) i,

{a + bi)[c + di) = eic bci -+- adi bdd = (ac — bd) (tui bc) i ,

a + bi (a bi)[r — di) ar + bd br — nd .

c + di (c-|-iA‘)(c — di) -i- fP c^ + (P

Tous les résultats trouvés sont bien de la forme A -f- B f.

Développement de (<i-^b y/— i)".

73. Considérons 'Maintenant l’expression (a + bi)”, où rn représente nn nombre entier positif. Par convention et en appliquant la'formulo du binôme, nous aurons

[a + bi)" = + ~ ir-'bi -h ~ i’ P A

m ( III ■

Remplaçons les puissances successives de i par les valeurs trouvées au n° 71, il viendra

[a -t- bi)” = ,r-h- U"'-' bi - ~ ir-^b'

i Li L ^ ^

I.«s termes du développement sont donc alternativement réels et imaginaires, et à deux termes positifs succèdent deux termes négatifs. On pourra donc écrire

■ ir-'‘b^

III {lit — I ) ( "< — 2 ) ( "' ~ 3 I

III ( III — I ) ('» — a I ( w — 3 ) t />/ — 4

♦ :yl. A . 3 . 4 •

Dans chaque parenthèse, les signes alternoronl.

(f-i — ... ij.

458 COMPLÉMENT d'aLGÈBKE.

On arrive donc encore à

A et B représentant les deux parenthèses.

On trouverait de même

(a) (a — Ai)” = A — Bi ,

puisque i seul change de signe.

Nous laissons'de côté le cas où m est fractionnaire ou négatify' cas où la transformation réussit encore (88). ,

Si l'on multiplie membre à membre les égalités (i) et (a), il vient

(a’ + fi*)" = A» + B’;

ce qui prouve qu’«/»c puissance cpielconquc entière et positive de la somme lie deux carrés, représente encore elle-même la somme de deux carrés.

Par exemple, si l’on supposait /n = a, les formules précédentes don- .ncraient A = — A’ et B = a «A. On aurait donc

(fl’ + A’)’ = {«’ — A’)’ -4- (aViA)’, égalité facile ù vérifier.

74. Nous avons déjà montré (dlg. élém., 208) que les expressions de

la forme yja ± bi peuvent aussi se ramener au type ^mmun indiqué. Il en sera de même de l’expression générale ^ n ± Ai qui rentre dans le. cas de m fractionnaire (73), puisqu’on a .

* y « ± Ai = ( fl dr Ai ) ^ ;

Du module. .

75. Étant donnée l’expression imaginaire a-\-hi, l'expression réelle et

positive est appelée le module de cette expression.

Deux expressions imaginaires conjuguées ont même module, et leur produit est égal au carré de ce module (70).

76. Le produit de ilciix expressions imaginaires a pour module le piviluil de leurs modulei^

Soit

(rt-1- Ai) (c-l-rfi) = (ne — bd) + {ad-i-bc)i.

Le module du produit obtenu est

v/ (flc — bdy-^-(ad+ùcŸ = ^cr c‘-\- b‘ «■“ </’-!- A' c‘ = A’) (c’-l-r/’ I. ,

Le théorème est donc démontré. On t étend sans {icinc à un nombre • quelconque de facteurs.

77. Si l’on a n-l-Af = o, il faut qu’on ait séparément a = o et b,~ô,

aucune réduction ne pouvant s’opérer entre n et Ai. *

Quand une expression imaginaire est nulle, son module est donc nul. ‘ , Uéciproquement, si le module est nul, rexpirssion corresiximlanlc est ' aussi nulle; car la condition A’ = o entraîne celloiK;i : a — o, A = o.

CO'MPLÉMEJNT u’ALGÈBaE. 4^9

Si l'on a

fl -(-6/ = a'+6'i,

on en déduit

•d’où

a = a' et b = b'.

On vérifie ainsi que toute équation de la forme indiquée se partage nécessairement en deux autres équations.

78. Pou!~ qu'un produit de facteurs imaginaires soit nul, il faut et il suffit qu’un /Ids facteurs soit nul.

En effet, sjf le produit est nul, son module sera nul. Ce module étant le preduil des modules des facteurs, il faudra, puisque ces modules sont des quantités réelles, que l’un d’eux soit nul. Mais alors le facteur imaginaire correspondant sera aussi nul (77). Do mémo, si l'un des facteurs imaginaires est nul, son module sera nul ; le module du produit sera donc nul; ainsi que le produit.

79. Le modute'de la somme ou de la difiérence de deux expressions imaginaires est compris entre la somme et ta dijférence de leurs motlules.

Soient fl-t-é/ et c-hdi les expressions considérées; désignons par & et p' leurs modules, |wr R le module de leur somme. On aura ‘

R’= (n-i-c)’-tj(^-f-f/)’ = fl’-f-c’-t-i’-t- 2(ac + bd).

Mais p’ = fl* + é’, p" = c’ -f- rf* ; donc ■. • ‘

• . * R’ = p’ -4- p^’-i- a (flc -4- W).

• D'ailleurs, on peut écrire

• (ae-t-bd)’-t-(ful — éc)’.

Par conséquent, la valeur de pp' est plus grande que ac -t- bd. On a donc à la fois

R’<p’-4-p”-4-app' ■ et R’> p’-4-p”— app',

c'est-è-dire que H tombe entre la somme p-4-p' et la différence p— p'.

. Même démonstration, si l'on considère la différence des deux oxpres- 'sio’ns imaginaires.

Changement d’ordre des factenrs imaginaires.

. 80. L'e théorème foqdaraenlal sur le changement d’ordre des facteurs

idlg. êlrm., 23) s’étend immédiatement au cas d'un produit composé de facteurs imaginaires. Eu effet, si l'on remplace v'— i par la lettre i, et si •

> ron‘applii{ue les règles ordinaires du calcul algébrique, l’ordre adopté danh’la multiplication ne modifiera en rien les coefficients des diverses puissances de i. On obtiendra donc, dans tous les cas) des polynômes • ideiftiques, c’est-à-dire que le produit sera toujours composé de la même ** partie réelle et de la même [lartie imaginaire. De plus, on pourra aussi ■ '■ bien reraplacQf les diverses puissances de i [>ar leurs valeurs, dans le courant'du calcul qu’à la fin de ce calcul, puisque toutes ces substitutions se résument dans la relation — i.

81. I.es (piantitës imaginaires permettent souvent d'arriver ti'une ma-

46o ^ COMPLÉMR^T d’alGÊBKE.

nière rapide à des résultats dont la démonstration directe pourrait être pénible: nous en avons déjà donné un exemple (73). Ce qui légitime l’emploi transitoire de ces symboles, c’est que les relations qui servent de point de départ sont basées sur l'idée de Vordre, c’est-à-dire sur un. simple fait de combinaison. Nous allons en donner un exemple, en nous appuyant sur le théorèmç précédent (80).

Soit le produit

P = {a+bi){a — bi){c + di)(c — di).

Si l’on multiplie séparément les deux premiers facteurs et séparément les deux derniers, on a

Si l’on multiplie séparément le premier et le troisième, puis le second et le quatrième facteur, il vient

P = [(«c — bd) -1- (ad -l- éc)i] ((ac — bd) — (ad -|- éc)/] c’est-à-dire

P = (ac — bdy 4- ( flf/ éc)’.

Si l’on multiplie onfln séparément le premier et le quatrième facteur, puis le second et le troisième, on aura

P = [(ar + bd)— (ad— br)i'\[(ac + bfl)-^(ad— bc)i], , .

c’est-à-dire > - ' • .

P = («r -I- W)’-f- (fl</ — bey, •

On arrive donc à cette formule remarquable

(n’-|-é’)(c’-)-rf’) = (ac±bd)’ -i-(ad bc)’.

Dans le second membre, les signes supérieurs et inférieurs doivent être pris ensemble.

Il est très-facile de parvenir directement au résultat obtenu ; mais cet exemple montre néanmoins tout le parti qu’on peut tirer de l'emploi des . imaginaires.

Des racines imaginaires de l’unité.

82. l/n radical quelconque tulmct autant de valeurs différentes qu'il y a (F unités dans son indice.

Considérons, par exemple, le radical l/k , et supposons A ' positif. •

V'A admet alors une valeur positive a (Alg. élém., 69). Toute quantité dont le cube égale A est une racine cubique de A : on cherche donc les^ valeurs de x qui satisfont à l’équation *

(i) x' = .\ ou n^t=o.

Le binôme x’ — /■/’ est divisible par x—a, de sorte qu’on peut remplacer l’équation (i) par la suivante: ^

( a ) ( X — a ) ( x’ -I- r/x -f- n' ) =r O . * -Xl

On est donc ramené à résoudre les équations

.r — a = O et .i" -1 a.r 4- o’ = O ;

C^)MPLI^ME^T n ALGÈBUE. " .. 4^*

ic’pst-à-dire qu’on a

On retrouve donc la racine cubique positive a, mais on en obtient deux autres qui sont imapnaires. D’ailleurs, A peut être une quantité quelconque, et il suffit que a représente une de ses racines cubiques.

Quel que soit 1e radical y A qu’on considère, la question proposée revient toujours à la résolution d’une éc(uation. Il s’agit de trouver toutes les quantités dont la puissance reproduit A, et dès lors toutes les valeurs de x qui satisfont à l’équation

Ainsi, il faut prouver qu’une pareille équation a toujours/» racines. Nous reviendrons plus lard sur ce théorème fondamental, base de la théorie générale des équations algébriques.

JQ'.Nous venons de trouver pour y A les trois valeurs ■ ■ ... .(^).

Si A = I , on peut prendre a= i. Par conséquent, les trois racines ciibi- ^ ques de l’unité sont

- 1 JL

En les comparant aux racines cubiques de A, on voit qu’on obtient les trois racines cubiques d’une quantité quelconque, en multipliant l'une d’elles par les trois racines cubiques de l’unité.

Cette importante propriété est générale. En effet, si /? est une valeur quelconque de 7 A et si les m valeurs de 7' sont, i, a, p, 7, . . . , les produits », <75t, op, »7 , • • • , élevés à la puissance »/, donneront toujours fl" ou A, puisqu’on a par hypothèse

I = Ot" =r P" = 7“ = ....

. Ainsi, en multipliant par les m racines de [unité, [une des valeurs de A, on obtient toutes les valeurs de ce radical.

8é. Ce qu'on vient de dire pour A pouvant s'appliquer à l'unité ellemême, on voit qu'o/i ne fait que reproduire les racines de [unité dans un autre ordre, lorsqu’on multiplie chacune ([elles par toutes les autres. Nous avons trouvé pour racines cubiques de l’unité

Multiplions-les toutes les trois par la dernière, il viendra — I -/•/§• (-i4-/V3)(-i-<V3) (-i-/v/3)’-t4-/V3.

.r = a et .r =

46a COMPLÉMENT d’alcÈBRE.

On voit en môme temps que chncune îles mcincs ininginnires est le carré de [autre: de sorte que, si l’une des racines imaginaires de l'unité est désignée par a, l'autre pourra l'ètre par a’..

Transformation trigonométrique des expressions imaginaires.'