I ..•vP /n® .. /no

( cos 7 4- J sin 7 ) '^ = cos — - 4- 1 sin — - P ^ P

toute sa généralité, on devra la remplacer par celle-ci ;

, , p aX'TT -1- »»o

(coS7 4- «sin^) = cos —

. . aX TT -1- m ®

■ » sin 1 ,

dans laquelle on substituera à X- les nombres o, i, a, 3, . . . , (/> — i). En effet, on a

(cos® -4- /sin7)'* = cos/«7 4- ' sin///7.

CÔMPLÉMENT d’aLi.ÉIIUE.

Si l’on divise maiiilcnant par p l’exposant m du premier membre, c'està-dire si l’on en extrait la racine p“"“, le premier membre admettra p . valeurs difTérontes et, pour que le second membre puisse les donner toutes, on devra le remplacer, d’après ce qu’on vient de dire (89), par

a/TT-trwv . . a/ir -t-mu cos -H I sin i- •

Applications trigonométriqnes de la formule de Moivre.

IM. On a (87) '

cos m y -(- (■ sin /n (p = ( cos Ÿ -i- I sin I). )", m étant entier et positif.

Développons le second membre par la formule du binôme, comme nous, avons développé [a -h bi)". Nous aurons (7’3)

COS mf-^i sin m p =

«os"* p — -

m t • . m (m— i)(m — 2)(ni — 3) CO»" »ps.n»y->- ' ■ , . 3 , p,

y .in y - cos"-, y y ^

Il en résulte immédiatement (77)

(l) cos/»if = COS y — — ! ; — • cos ysiii’y

c«i!>"“‘sin‘y —

III (m — I )’ (•»» — i ) ( /;/ — 3 I ï ! 2 7 3 ! 4

cos" ‘ y siir y — ...,

, , , . " ml lit — I ) ( "' — * ) », • 1 ■

(a) sin/wy = mcos ysmy — - — ■ cos ysin y

— — — ^ co5"‘‘ysin‘? — ....

Ces formules donnent le siniu et le cosinus rPun multiple ipieluoifpie iPun are, en fonction du sinus et du cosinus de P arc si ni pie. . ' *

En.divisant membre à membre les formules précédentes, on a ' ' *

tangniiy =

WJC09"*"' ysiny — ^ ■ - — ■ coe"~’Ÿsin’y

cos""’ y sin’ y ■

Divisons les deux termes du second membre par cos^y et simplifions, il viendra

m(m — i)(m— a) , m(nf— i)(m 3ÏÏ/n— .'i) .

. Ung’y l.nc‘y-...

466 COMPLÉMENT d’ ALGÈBRE.

A Paide de. cette formule, on peut obtenir la tan fiente d'un multiple tpielconque d’un arc, en fonction de là tangente de Parc simple.’’

92. Reprenons les relations (i ) et (a). On peut les écrire comme il suit, en mettant flans les seconds membres cos“? en' facteur commun;

cos ;« Ÿ — ços"‘ÿ

»>tang^^~ ^ -3— tang y

If — cos fl ni(m— r){m — x\{m — 3){m — H) I

L+, . . 3 ■; 4 ;:-5-^tang>f-...J

Posons ino = JC, d’où m = -• Nos formules deviendront

— lang’f

• ’ , r , liiZLll . î£2s!l “I

cos.r 3T cos”f I r ' \f* \ I < r

I x(4:— f)(x — af)(.T — 3f ) tang'f I

[X .x(x — f)(.r — afhtanÿf -i

, x(x — f)(x — «f)(x— 3f)(x— 4f) lang>l I • 1* . a . • 3 . 4 ■ • 5 f‘

Faisons converger f vers o ; x étant supposé rester invariable, m prendra des valeurs de plus en plus grandes foarnies par la relation m = - •

A la fimile, f devenant o, on aura (Trig.fSi)

(i) . = I et cos“f = I (*).

‘ (^) 11 est nécessaire de prouver qu'on a rigoureusement cos p" = i , quand on suppose p = 0 et, par suite, ni = cc ; Lorsque p n’est .pas encore o, mais a une très-petite valeur, m n’est pas encore inflni, majs a une très-grande valeur.

On a donc A élever it une très-grande puissance une quantité très-peu diflérente ' *

de f, q^ais qui tombe au-dessous de 1. fcc résultat obtenu est donc toujonrs inférieur it l’unité. Ainsi, on a toujours C08'"p on, cc qui revient au même,