Calcul des logarithmes népériens

Ajoutons les formules ( i ) et (a) membre à membre, il viendra

COMPLÉMENT U ALCEBRE.

Comme est > i, on peut écrire

N ol Z étnnt deux nombres positifs quelconques. On tire de cotte relation

aN + z

1.6 premier membre de la relation (3) devient ainsi l.î^=l(N-t-3)-l.N,

et l’on jieut écrire

La formule (4) permet de calculer le logarithme népérien de N -f-z quand on connaît celui de N.

Il est facile déjuger du degré d’tfpproximation qu'on a atteint, en s'arrêtant à un certain terme.

Si l'on néglige dans le développement tous les termes qui suivent le terme

(ip + \) (aN-f-3)^'‘ ’ . • ■

l'erreur commise sera égale à

L(a/>-|-3) (aN-l-z)’’’"'’ {'Z!> + 5) (aN-l-a)^'''*

Elle sera donc moindre que

(a/»-t-S)(aN4-z)’^“L'

ou que

en remarquant que la parenthèse forme une progression indéCniment décroissante dont la raison est - ^ ^ • On peut donc poser, en ap|)c-

lant E l’erreur commise et en simplifiant,

Si l'on écrit simplement, en ne conservant que le premier terme de la série,

l(N + z)=rl.N 4- ' îN-l-z

CUMFLÉKEMT D'ALuksBE.

on aura, en faisant a + J = I , >

5ai

6N(N + i) (aN + 2)

et, à plus forte raison,

la Vn^

’ 166. Calcul du module. Pour passer des logarithmes népériens aux logarithmes vulgaires, il faut calculer le module M, qui est égal à j— ^ (///^. eVe/n., 2ÎS3). •

Pour calculer I.io, nous chercherons l.a et 1.5; nous aurons ensuite

Pour avoir I . a, il suffira de faire dans la formule ( 4 )

N = I et z= I.

Il viendra ,

On calculera rapidement un grand nombre de termes, en réduisant en décimales les fractions 3»’ • • ■ ’ ^ divisant suc-

cessivement par 9 les différents résultats trouvés à partir du premier ; puis, en les divisant de nouveau et dans l’ordre convenable par la suilo

des nombres impairs i, 3, 5, 7,

Si, dans la formule (4), on fait N = 4 et 2 = i, il vient

On a I . 4 en doublant I . a, et on calcule la parenthèse en employant le procédé indiqué pour l.a.

On obtient ainsi ;