X 8IH AX
, /(x) = cos 3x.sinx.
On remplacera cos 3x par
cos’x — 3sin’x.CüSx ( 7’rig’.,‘i3),
et l’on aura
d'où
/(x) r= cos*xsinx— 3sin’xeo8x,
, cos'x 3sin'x ,,
Séries qui serrent au calcul des logarithmes. 163. Considérons la fonction
On en déduira
Si Pon supjjost: que x reçoive seulement des valeurs comprises entre o
l>ar la somme des termes de
et I, on pourra remplacer le quotient la progression indéPiniment décroissante
qu’on obtient [Mir division (105).
On pourra^ donc écrire, en s’arrêtant au «•'*" ou au (« -h i )‘^ terme,
= I — x-Fx’ — x’ + x* — ...± x"”’ )
' , I + jT
Fusons
o(x) n’est autre chose que la fonction primitive de F'(x), bornée au «“•" terme et prise sans constante [on a F (0) = o].
On aura
Si l'on retranche q' [x\ des deux o.xpresions de F'(x), il vient
COHPLéM^T d’algèbre. Sig
Les seconds membres des équations obtenues étant nécessairement de signes contraires, les deux fonctions primitives qui correspondent à Leurs premiers membres, c’est-à-dire * ■
F(x)-y(j:) et F tx)- ^(x)'± ,
sont l'uûe croissante et l'autre décroissante , quand x croît de o à i [145]. l’ouf X = O, cites sont ntdles toutes ks deux. Pour une certaine valeur de X comprise entre o et i , ellee seront donc de signes contraires. Dte lors on aura, par exemple,
F{x) — y(x)<o et F(x)-^.(x) >o.
F(x) tombera donc entre ÿ(-^) , ’ 0“ pourra donc
poser
F(x)=r ÿ(x) rpa.
3. étant une quantité inférieure à l’uniti. Et comme à mesure que n auga x**'
mente,. le terme ^ |7| Lood vers zéro (ce qui n'aurait pas lieu si x était
plus grand que i), on peut, en se reportant d'ailleurs à ce que nous avons dit sur la convergence des séries, poser à lu limite
c’est-à-dire
JC'
JC*
La démonstration précédente prouve qu’on peut admettre pour x la valeur 1 ; la série obtenue donnera, dans ce cas, le logarithme népérien de a.
16i. Si l’on change x en — -x dans la relation (i), on a * ^
ou
Celte série reste convergente, comme la première, pourvu <jue x reste compris entre o et i . On ne peut plus ici supposer x = i ou, du moins, les deux membres de l’équation deviennent alors infinis ; le premier membre devenant — 1 .o, et le second membre représentant la série harmonique (103, a“).
