Considérons la fonction F (a:) = arc tangx. Nous aurons

Si f 0/1 suppose que x reçoive seu/e/nent lies valeurs co/uprises entre

3 par la somme des termes

O et I, on pourra remplacer le quotient y j ^ de la progression indéfiniment décroissante

qu’on obtient par division (nous mettons en évidence la divisibilité par 4 des exposants des termes positifs) (105). On pourra donc écrire

l’osons

y (.c) n’est autre chose que la fonction primitive de F'(x), bornée au ■ji //'*”“ terme et prise sans constante [on a F (o) = o].

On aura

*11 en résulte

\ji ditférence entre ces deux dérivées est donc constamment {xisitive et moindre que x'*. On peut donc écrire *

F' (x) — y' (x) > o et F'(x) — y’(.r) — .r'"<o. •

Si l’on considère la première inégalité, on voit que la fonction primitive F (.r) — y (x) est croissante à j/artir lie zéro. Si l’on considère la seconde

inégalité, on voit que la fonction primitive F (.v) — y( x) — est,

au contraire, flcrroissanU' à jxirttr fit: zrn». Les fieu.\ fonctions c^jnsidé-

Dioil'zed by Cnogle

COKPLÉMËST d'algèbre.

rées sont donc, l’une positive, l’autre négative, pour toute valeur <le x comprise entre o et i. Par conséquent, F(x) tombant entre

((.(j:) et y(x)-4-

on peut poser

a étant une quantité inférieure à l’unité. Le terme a '

convergeant

vers zéro à mesure que n augmente (ce qui n’aurait pas lieu si x était plus grand que i), on pourra poser à la limite

c’est-à-dire

.3^ JC^

arc tangx = •*~y+5 —

Si l’on change x en — x, on a

arc tang ( — x) = — arc Ung(x ) = — x-t-y — '^-4- — —

c’est-à^lire qù’on retombe sur la mémo série ( i ). Cette série subsiste tlonc pour toutes les valeurs de x comprises entre — i cr + i et, aussi, pour, les valeurs limites. La série ( i ) a été donnée pour la première fois par Leibnitz : elle porte souvent son nom.

Si la tangente x donnée était plus grande que l'unité, la série ( i ) qui fait connaître l’arc correspondant deviendrait divergente. On chercherait

dans te cas l'arc tang - > complémentaire de l’arc demandé, et l'on aurait

arc tang - = - — arc tang x —