Exemple : Soit l'équation
Le premier procédé (192) donne
L=-i-l--î-) c’est-à-dire L=i-)--=4,5.
Le second procédé ,(193) donne
c’osl-à-dire
5^4 COMPLÉMENT D ALGÊBEE.
Appliquons maintenant le procédé de Nrtvion. On a
F' (j)= iox* + i6x^ — i5x’ — i4.r -f- 1 1 ,
F" (x) = 40.1^4- 48 x’ — 3ox — i4.
La valeur o rend positives P (x) et F‘* (x); la valeur 1 rend positives toutes les autres dérivées et F(x). On peut donc prendre L= 1.
7{c/«/7r7«c.— Souvent, en décomposant le premier membre de l'équation en différents groupes convenablement choisis, on peut arriver à une limite peu différente de celle de Newton. Reprenons la même équation. On pourra l’écrire comme il suit, en commençant chaque parenthèse par un terme positif:
Il suffit évidemment de satisfaire aux inégalités
La dernière est satisfaite pour x = i, et les deux premières pour X = 1 ,6. On prendrait donc, en suivant celte marche.
406. Supposons maintenant qu’on demande une /imite inférieure des racines positices de l’équation proposée.
On posera ^ —j.' O” cherchera une limite supérieure X des racines
positives de la transformée en y. Et comme la plus petite racine positive de l’équation en x correspond à la plus grande racine positive de l’équation en y, ^ sera évidemment une limite inférieure des racines poèilives de l’équation en .r.
Dans les applications, il faudra chercher |K)ur X la plus petite valeur jiossible, afin d’avoir pour ^ la plus grande valeur possible.
Si l’on veut seulement une limite différente de o, on opérera comme il suit. ' ^
Soit l'équation
La transformée en - sera
et l'on aura (164)
iili’edbv
CÜMPLÉMEST d’aL(;ëBHE. 545
en désignant par N la videur absolue du plus grand coefficient négatif, d’où
c'est-à-dire qu’o/i obtient iminédiatcment une limite inférieure des racines positives de la pmjx>sée, en divisant la l'aleur absolue du dernier, coefficient ( le premier terme de la transformée devra être rendu fiositif, s'il ne test déjà), par la somme des vedeurs absolues de ce dernier coefficient et du plus grand coefficient de signe contraire.
197. Si l'on veut enfin marquer aussi pour les racines négatives une limite supérieure et une limite inférieure, il suffira de prendre la transformée en ’ — X do l’équa^tion proposée, et de chercher des limites des racines positives de cette transformée. En les affectant du signe —, on aura évidemment des limites entre lesquelles seront comprises , les racines négatives de la proposée.
Lorsqu’une équation a tous ses termes positifs, nous avons déjà dit (191 ) que o était la limite supérieure de ses racines positives.
De même, lorsqu’une équation a tous ses termes de degré impair affectés d’un certain signe, tandis que tous ses termes de degré pair sont affectés du signe contraire, il est inutile de chercher les limites des racines négatives. Car tout nombre négatif substitué dans l’équation en rendra tous les termes de même signe, c’est-à-dire que cette équation ne peut admettre aucune racine négative.
