Soit l’équation

Désignons par N 1e plus grand coeflicient négatif, pris en valeur absolue. Le premier membre de l'équation sera au moins égal à

et sera jwsitif si cette expression est positive. Cherchons donc une valeur de X qui satisfasse à l’inégalité

yf** I

quantité entre parenthèses revient à • Par suite, on peut écrire

l’inégalité sous la forme

Et, pour que cette relation soit satisfaite, if suffit qu'on ait

d’où

Il est évident que toute valeur plus grande de x conviendra à plus forte raison. Donc on obtient une limite supérieure des racines positives de réquntion F (x) =0, en ajoutant P unité au plus grand coefficient négatif pris positivement ( le coefficient du premier terme étant préalablement ramené à P unité, en divisant les deux membres de Péquntion par A, ).

193. On peut obtenir une limite moindre que fa précédente, en tenant compte du rang du premier terme négatif de l’équation.

Admettons que le coefficient du premier terme soit l’unité. Désignons par N le plus grand coefficient négatif pris en valeur absolue, et supposons que le premier terme négatif contienne x"'*’. Il suffira de trouver [>our X une valeur qui satisfasse à l'inégalité

.r"> N{x”-'’4-x^-'"'4-. .. 4- i) ou

ce qu’on peut écrire

.r"-r-'[(x- i),rr-' — N]-(-N ^ ^

Il faut donc trouver pour x une valeur plus grande que i (rilg. étém..

COMPLÉMENT d'aLGÈBRE. 543

169, II) qui satisfasse à la condition

{x— i) jf~' > N

ou à la condition

I On doit donc avoir

^ (x— i)'’ = N, d’où x = i+vi'N.

Toutes les valeurs plus grandes de x conviendront à plus forte raison. Donc on obtient une limite supérieure des racines positives de P érptatinn F (.r) = O, en ajoutant C unité à une racine du plus grand coefficient négatif pris positivement, ajant /jour indice f excès du degré de téi/uation sur le degré du premier terme négatif ( le coefficient du premier terme de l’équation est supposé égal à l’unité).

194. Limite de Newton.— \]ne équation dont tous les tonnes sont positifs ne peut admettre aucune racine positive, et toutes les valeurs positives croissantes mises à la place de x rendent lo premier membre de l’équation positif et de plus en plus grand.

Or, si l’on diminue la variable x d’une quantité h telle que la transformée ait tous ses termes positifs, la quantité h surpassera nécessairement la plus grande racine positive de l’équation proposée, et dés lors elle sera une limite supérieure des racines positives (191 ).

Si l’on pose /=x-^ A, d’où x = j-+A, il viendra

et la qi^tion sera de déterminer A de manière à satisfaire aux inégalités ' F(-)(A)>o, Fi-')(A)>o.-".F'(/')>o, F'(A)>o. F(A)>o. -

On peut remarquer, à propos de cette solution, qu’une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive (145). Donc, si pour une certaine valeur do A, on a F(A)>o et si F'(A) reste positive à partir de cette valeur, il en .«era de mémo pour F( A). Pour que F'{A) reste sûrement positive à partir d’une certaine valeur de A, il faut que cette condition soit remplie pour F'(A), etc. On est ainsi ramené aux mêmes conclusions. ■ ,

F(">(A) est une constante. F("^''(A) est du premier degré, et il sera facile de trouver la valeur de A qui rend F<"‘'>(A)>o. On verra si cette valeur satisfait à l’inégalité Ft”"’' (A)> o. S’iln’en est pas ainsi, on l’augmentera d’une, deux, trois, . . ., unités. Jusqu’à ce que l’essai réussisse. On continuera de la même manière Jusqu’à F(A).