CHAPITRE III

THÉORtiME DE DESCARTES

109. Le théorème de Dc.icartcs permet d’assigner, à la seule vue d'une é(iuntinn algébrique à eoefïicienis réels, une limite supérieure du nombre de racines positives qu’elle peut admettre.

Lorsqu’on considère une suite de termes réunis par les signes + ou — , on dit qu’il y a variation lorsque le signe change en passant d’un terme au suivant, et permanence lorsqu’il n’y a pas changement de signe.

L’équation — '1.3? — 5x^ + — 1 = o présente imix variations et

iinc permanence. Quand l’équation est complète, le nombre des variations et des permanences réunies est égal au degré.

Ceci posé, dans toute ccpiation à coejficicnts réels, le nombre des racines positives ne peut pas surpasser le nombre des variations, le nombre des racines négatives ne peut pas surjiasser le nombre des variations de la trans formée en — x.

■Voici la démonstration due à Gauss : i

1“ Si Con midtiplie par x — a (a étant un nombre positif) un polynôme entier et rationnel ordonné suivant les puissances décroissantes de x, le produit présente au moins une xtariation de plus que le multiplicande.

Mettons en évidence les variations du multiplicande. Pour cela, supposons-le partagé en groupes ■'<lB"lérrae8 de même signe. Le premier groupe SC compose du premi^ teiW (supposé positif) et des termes suivants qui ont le même si^c'^Dja^oau groupe commence au premier terme négatif, et est formé de ce ferme et de tous les termes négatifs qui le suivent. Le troisième groupe commence au nouveau terme positif qui api^rait, et comprend ce terme et tous les termes positifs qui lui succèdent. Et ainsi de suite. Chaque groupe peut ne contenir qu’un seul terme.

D'après cela, on pourra écrire le polynôme considéré, en n’indiquant que le premier terme de chaque groupe, sauf pour le dernier groupe dont on indiquera le premier et le dernier terme.

Mj-" — ...+P.Tr . — Qr» — . . dtltx" ■±...dtzV

N . . . )-p xr+‘ -H ... Qx»+i— . . . ±üo-"+'rt...±Vx

— ...— N'j"-f'-t- .. . -eP'.iC*i . ... irU'r«'"q: ... qrVa

■ . . .-(-(P-t-P')jcr' ■ . .(Q+Q')j;i+>. . .±(U-i-U')*-"‘. . .=pV«

Multiplions maintenant ce polynôme par le binôme x — n. Le premier produit partiel n’exige aucune remarque. Le second produit partiel commence à un lenno on x", et ce terme est négatif puisqu’il provient d’un terme positif multiplié par — a. Les termes suivants sont négatifs jusqu'au terme en x*+' inclusivement. Ce dernier terme représente le produit par

COMPLÉMEST o'aLGÈBKE. ' 547

— rt du terme du multiplicande qui précède — Nj:"; N' est le produit («r <i

du coedicient du terme considéré au multiplicande. Le terme suivant du second produit partiel commence une série de termes |>ositifs. En edet, on a à considérer au multiplicande un groupe do termes qui sont négatifs comme — a. Le dernier terme de cette série est P'j:c+' ; c’est le produit par —fl du terme qui précède -f-Pj' au multiplicande; P' est le [iruduit de la valeur absolue du coedicient de ce terme [»ar a. Au delà, les termes du multiplicande devenant positifs, c’est-à-dire de signe contraire à.-^fl, c’est une série de termes négatifs qu’on doit écrire au second [>roduit partiel, etc. On continue ainsi, jusqu’à ce qu’on parvienne au dernier gronpe du multiplicande. Après avoir formé le terme qui est

de mémo signe que le terme ± d'après les remarques qui précèdent, on a à multiplier par — « le terme ±Uj:* et une série de termes de mémo signe : tous les termes correspondants du second produit partiel auront donc le signe jusqu’au dernier terme q: V a.

Lorsqu’on ajoutera les doux produits partiels pwur avoir le produit total, on ne sait pas quels signes les réductions entre termes semblables, do signes contraires introduiront dans l'intervalle qui sépare les termes et — (N mais on est certain qu’il existera un nioiii\-

une variation entre ces deux termes, comme il en existe une au multiplicande entre les termes Ma;" et — Na:". (De plus, s’il y a plus dune variation, il y en aura toujours un nombre impair, deux ternies de signes contraires no piouvant être réunis que piar un nombre impair de changements de signes.) Do même, entre les deux tenues du produit

— (N -P- N'jar"*' et -+-(P -f- P'jj^'’"', il y aura au moins uhe variation, comme au multiplicande entre les termes — Na^ et -f-Pay’. On continuera ainsi jusqu’aux termes ±{U H- et i^Vodu produit : entre ces termes, il existe au moins une variation, tandis qu'entre Içs termes correspondants du multiplicande ±üar* et ±V il n' en existe pas. Donc le nombre des variations du produit surpasse au moins d'une unité le nombre des variations du multiplicande.

Remarque. — D’ailleurs l’cxcéa du nombre des variations du produit sur le nombre des variations du midtiplicansle, sera toujours un nombre impair. En effet, chaque groupe do termes considéré au produit pieul, d’après la remarque faite plus haut, introduire un nombre impair de variations nouvelles, c’est-à-dire un nombre /wir de variations en excès, par rapport à l'unique variation qui existe au multiplicande; seul, le dernier groupie do termes du produit introduit un nombre impair de variations en excès, puisqu’il n’en existe plus au multiplicande. L'excès cherché, composé de plusieurs nombres pairs et d’un nombre im|>air, sera donc un nombre impair.

a' Soient a, b, c,..., les racines positives de F(x) = o; soit if(-r) le produit des facteurs du premier dogié qui correspondent aux rheines négatives ou imaginaires de cette équation. En multipliant y(x) |iar x — a, on obtiendra au moins une variation de plus (i°); do même,

(p(x).(x- fl).(x — é)

renfermera au moins une variation de plus que ?(x).(x -^a), etc. Par conséquent, le premier membre de l’équation F(x) = o, c’est-à-dire

548 ' COMPLÉMENT d’aLGÈBRE.

rcnrermera un nombre de variations au moins égal à celui de ses racint's positives; et si le nombre des variations l’emporte sur celui des racines positives, ce sera d’un nombre pair; car chaque racine positive introduit, d’après ce qui précède (i°. Remarque), un nombre inqmir de variations, c’est-à-dire une variation plus un nombre pair de variations ( qui peut être zéro).

Si l’on forme la transformée en — x de l'équation proposée, les racines positives de cette transformée correspondront aux racines négatives de l’équation donnée. Donc, en appliquant à la transformée le théorème qu’on vient de démontrer, on aura une limite supérieure du nombre des racines négatives de la proposée.

Remarr/ues. — I. L’excès du nombre des variations sur le nombre des racines positives étant nécessairement un nombre pair, si le nombre des variations est pair, le nombre des racines positives est pair; si le nombre des variations est impair, le nombre des racines positives est impair.

11. On peut éviter de considérer la transformée en — x, quand l’équation est complète ; car chaque permanence de la proposée correspond à uno variation de la transformée, et réciproquement. De sorte que, dans ce cas. le nombre des permanences de la proposée est une limite supérieure du nombre de scs racines négatives.

2fl0. F.rrmplea : Soit l’équation

x‘ — 3x*-t- Sx’ — 7.r-(- I = O. •

Son premier membre présentant quatre variations, elle aura quatre racines positives ou deux ou pas du tout. La transformée en — x est

X* — 3.r’ — Sx* — 7x — I = O.

Elle présente une variation; donc la proposée a certainement une racine négative {199, a", RrmnrqucW); ce qui concorde avec un théorème connu (1H0).

Soit l’équation

.r' -- 3.r -1- -/x’ — x-1- lo O.

Elle présente quatre variations, elle aura quatre racines positives ou deux ou pas du tout. La transformée en — x est

x’ — 3x^ — ix‘ — X — lo = O.

Elle ne présente qu’une variation et admet alors forcément une racine positive. Donc la proposée admet certainement uno racine négative. Elle ne )ieut, par conséquent, avoir plus de cinq racines réelles, et elle a nécessairement deux racines imaginaires : olle peut en admettre six.

De même, l’équation

présente une variation ; elle a donc une racine positive (la différence entre le nombre des variations et celui des racines positives devant être un nombre pair, ne peut être ici que zéro). La transformée est

t'ette transformée présente aussi une variation. L eipiation proposée a donc unç racine positive, une racine négative ( 17.S). et quatre racines imaginaiies.

COMPLÉMENT d’aLGÈBRE. $49

Lorsqu’une équation est formée d’une série du termes positifs suivis do termes tous négatifs, elle a une racine positive et n'en a (|u'une seule.

201 . Si Fêijuation donnée cft complète et si Fon sait qiFelle a toutes scs racines réelles, le nombre des racines positives est égal nu nombre des variations , et le nombre des racines négatives au nombre des permanences.

En effet, soient m le degré, P le nombre des racines positives, N celui des racines négatives, v le nombre des variations, p celui des permanences. On a, à la fois,

P -(- N = m et V -k- P = m,

d' où

I' ne peut pas être inférieur à P et, s’il lui était supérieur, on aurait

ce qui est im|>ossible (199). On a donc

et, par suite,

Si Féquation donnée est incomplète et si Fon sait qu'elle a toutes ses racines réelles, le nombre des racines positives est égal au nombre des variations de Ut proposée, et le nombre des racines négatives à celui des variations de la transformée en — x.

Désignons par v le nombre des variations de la transformée. On aura, d’après ce qui précède,

Par suite, •

Comme P + N = m, on aura

Mais il est impossible que m soit plus petit que En effet, si deux

termes consécutifs de la proposée sont de parité dijférente (et, dans ce cas, il peut ne manquer aucun terme entre eux), ils ne peuvent donner en tout qu’nie variation dans la proposée et la transformée. Et si ces termes sont de même parité (et, dans ce cas, il manque au moins uti terme entre eux ), ils donneront en tout deux variations dans la proposée et la transformée ou ils n’en donneront pas du tout. On a donc encore dans ce cas, ^

et l'on en déduit,

202. Lorsque toutes les racines de Ut pro/xiséc sont réelles, il est facile de déterminer combien cette équation a de racines comprises entre deux nombres donnés a et b. *■

Si l’on change en a -|-n, on diminuera de a toutes les racines de la proposée (189). Donc l'é<|uation en i aura autant de racines positives que l'équ.ation proposée de racines supérieures à a.

COMPLÉMENT d’aLCÈBHE.

Si l'on cliiinge x en Y -j- h, on diminuera de b toutes les racines de la l>ropcstH>. Donc la nouvelle transformée en V aura autant de racines positives que l’équation proposée de racines supérieures à b.

Si l’on suppose b > a, il suflira donc de retrancher le nombre des variations de la transformée en Y du nombre des variations de la transformée en r, pour savoir combien la proposée admet de racines entre a et b.

Plus généralement, si f on ne sait rien sur la nature des racines de la proposée, on peut néanmoins poser

r ne sera positif que pour des valeurs de x comprises entre a et 6. Donc, en formant la transformée en v, c’est-à-dire en changeant x en ,

le nombre des variations de cette transformée sera une limite supérieure du nombre des racines de la proposée qui sont comprises entre a et b.

Si toutes les racines de la proposée sont réelles, il en est de même des racines de la transformée, et le nombre de ses variations donne alors exactement (201 ) le nombre des racines de la proposée qui tombent entre U et b.