CHAPITRE IV

RtC.HËRCHE DES RACI^ES COMMENSURABLES.

Recherche des racines entières.

r 203. Soit

l’éipiation proposée. Les coefficients sont supposés des nombres entiers.

Nous avons vu (179) comment on devait opérer pour s'assurer si un nombre a était racine. En désignant par

le quotient obtenu et par B le reste de la division de F(x) par x— «, noos avons tronvo les relations suivantes :

A, - B, — «A,, A, = B, — oB,, A, = Bj— «B,,..., =

Si tous les coefficients du dividende sont entiers, si a est un nombre entier, (rositif ou négatif, tous les coefficients du quotientserônt aussi des nombres entiers.

Dans le cas où a est raoine, on a R = o, et l’on peut alors déduire successivement des égalités précédentes ;

COMPLÉMENT d'alCÈBBÉ. 55 l

Ces nouvelles égalités montrent que, ,v< u est incitif, <i .11:111 un ihvi.icur du (krnivr coefficient tU: rèiiiialion.. Donc les nombres à ess;iyer seionl pris seulement jwrmi les diviseurs de ce coelllrienl.

U devra, de plus, diviser la somme du quotient obtenu — H,, , et de l’avant-dernier coefficient A„, de l’équation.

Do môme, a devra diviser la somme du quotient de cette seconde division — B,,, et du coefficient A„, de l’équation. *

Et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à diviser par a la somme du quotient — B,, donné t«r la(/n*-i)‘^ division, et du second coefficient A, de l'équation. Si a est nteinc, on trouée pour quotient de cette et dernière dieisinn — A,, c'est-à-dire le coc(/icient du premier terme tduingé de signe. ■; ♦,

Si ce coefficient est l’unité, on devra donc trouver — 1 pour dernier quotient, •

11 est essentiel do remarquer immédiatement que les différents quotients obtenus

sont précisément les coefficients du quotient de Y (x) par le facteur x— .à, seidement changés de signes. De sorte que la marche indiquée apprend si «est racine, et donne en môme temps l’^uation débarrassée de la racinen ou simplifiée pour les calculs ultérieurs.

Si, dans le courant des essais, un quotient fractionnaire se présente, a n’est pas racine, et l’on passe à un autre diviseur de A„.

Si l’équation proposée n’est pas complète, on doit tenir compte des termes manquants, en remplaçant leurs coefficients par zéro.

11 convient d’essayer toujonrs directement les diviseurs + i et — i, et do simplifier avant tout l'équation si elle les admet pour racines.

On ne doit évidemment soumettre au calcul que les diviseurs du dernier coefficient qui tombent entre les limites supérieure et inférieure des racines réelles de l’équation.

Enfin, le théorème suivant permet d’abréger les essais dans un grand nombre do cas. ‘ » »

Supposons que a soit racino; On aura identiquement p

F(x) = (x— a)Q, d’où 0

.F(x)' Xr— a

Substituons à x un entier quelconque E. 11 viendra ■ ' F(E)

Qg étant nécessairement entier, il faudra que E — a divise exactement F(E). Ainsi, a étant racine, la différence qui existe entre un entier quelconque et a, devra diviser exactement le résultat de la substitution de cet entier à la place de x clans F (x).

Comme on doit d’abord essayer les diviseurs -f- 1 et — i, les résultats de ces substitutions sont connus, et l’on cherchera préalablement si i — » ou (ce qui revient au môme) a — i ainsi quo — i —a ou a-f- 1, divisent respectivement F(i) et F ( — 1 ). '