DAB

pendiculaire sur DB. S’il n’en est pas ainsi, supposons que BAE soit le plus petit des deux angles. Faisons alors tourner la ligne AE autour du point A jusqu’à ce qu’elle vienne coïncider avec AD.

Dans ce mouvement, l’angle BAE croit

d’une manière continue, tandis que l’angle DAE décroît d’une ’manière continue jusqu’à devenir nul. L’angle B.AE, d’abord plus petit que l’angle DAE, doit donc devenir plus grand comme l’indique la seconde position AF de AE, marquée sur la figure {^g. 8). Il y a donc nécessairement un instant, et cet instant est unique, où les deux angles sont égaux. Avant cet instant, les deux angles n'étaient pas encore égaux; après, ils ne le sont plus. Si l’on suppose que AE occupe la' position AC, lorsque les deux angles adjacents sont égaux, on voit que AC est la seule perpendiculaire qu’on puisse élever au point A sur DB.

Tousles angles droits sont sans quoi on pourrait mener

deux perpendiculaires en un même point d’une même droite.

Un angle aigu est un angle plus petit qu’un angle droit, un angle obtus est un angle plus grand qu’un angle droit : l’angle DAF est aigu, l'angle B.AF est obtus.

13. Lorsque la somme de deux angles est égale à un angle droit, ces angles sont appelés complémentaires ; lorsque la somme de deux angles est égale à deux angles droits, ces angles sont appelés supplénientaires.

Les angles adjacents formés par deux droites qui se coupent sont supplémentaires [fig. 9).

Fig 9. Soient les angles BDE, EDA. J’élève au

point D la perpendiculaire DC sur AB. L’angle aigu BDE est inférieur à un angle droit de l’angle CDE; l’angle obtus A DE est supérieur à un angle droit du même angle CDE. La somme des angles BDE, ADE, est donc égale à deux angles droits.

' Il résulte de celle deiuonslraliou (|ue la

somme de tous les angles qu'on peut former autour d'un même

GtOMt'l Mb.

point D et au-dessus d'une même droite AB, est toujours égale à deux angles droits.

Lorsque deux droites qui se coupent sont prolongées toutes deux au delà du point d’intersection, elles forment quatre angles : c’est ce que montre la ligure, lorsqu’on considère les droites AB et CF. Ce qui précède prouve alors que l'iin de ces quatre angles étant droit, les trois autres le sont. Par consé-quent, si CD est perpendiculaire sur AB, AB l'est ù son tour sur CD.

La somme de tous les angles qu’on peut former autour d’un même point, est égale à quatre angles droits. On n’a, pour s’en assurer, qu’à mener par le point donné deux droites perpendiculaires entre elles et indériniment prolongées.

Lorsque deux angles adjacents sont supplémentaires, leurs côtés extérieurs, c'est-à-dire leurs côtés non communs, sont en ligne droite. Celle réciproque de la proposition précédente est évidente. Si les deux angles ADE, EDB (fig.Ç)] sont supplémentaires, les cotés AD et DB sont en ligne droite ; car le prolongement de AD détermine précisément le supplément de l'angle ADE.

La bissectrice d’un angle est la ligne qui, menée par le sommet de cet angle, le partage en deux angles égaux. Les bissecpjg trices de deux angles adjacents supplé-

t mentaires sont à angle droit [fig. lo).

' Soient les deux angles supplémentaires

^ ACD, DCB, soient CF et CE les bisscc-

;; 1 trices de ces angles. L’angle FCD est la

moitié de l’angle ACD, l’angle DCE est la moitié de l’angle DCB. L’angle FCE sera donc la moitié de la somme des angles ACD et DCE ou la moitié de deux angles droits.

ik. Deux angles opposés par le sommet sont tels, que les côtés de l’un sont les prolongements des côtés de l’autre.

Les angles opposés par le sommet sont égaux. Soient les l ij., ,, deux droites BD, EF 1 1), je dis

que les angles BAE, FAD, sont

- égaux. En effet, ces deux angles ont ~ pour supplément le même angle

" DAE. On prouverait de même que les angles DAE, FAB sont égaux.

Réciproquement, si les angles BAE, FAD sont égaux, ainsi que les angles DAE, FAB, les trois points B, A, D, seront en ligne droite ainsi que les trois points F, A, E. En effet, la somme des angles formés autouedu point A éutnl toujours égale à quatre droits ( 13), la somme des angles BAE et DAE,

GÉOMÉTRIE

Fig. n

qui esl la moitié de la somme des angles considérés, sera égale à deux angles droits; ces angles étant dans la position d’adjacents, leurs côtés extérieurs BA et Al) seront en ligne droite. Oh démontrera de même que FAE esl une seule et même ligne droite. •

Les bissectrices des angles opposés par le sommet sont en prolongement l’une de i autre [fig- 1 2.) • En effet, CA est perpendiculaire sur AD, parce que ces droites sont bissectrices d’angles supplémentaires (13); AE esl perpendiculaire sur .\I) pour la même raison. Il en résulte que AC et AE sont en prolongement (12). On prouv^era-dc même que AD et AB sont en prolongement.