I. — Mesure et rapport des lignes droites

9. Nous savons par l’arithmétique ce qu’on doit entendre par le moi««/if'' et ce que c’est que mesurer une grandeur.

. Mesurer la grandeur d’une ligne droite, c’est la comparera une autre droite prise pour unité.

Si la droite qu’on veut mesurer surpasse le mètre, on porte le mètre sur sa direction autant de fois que possible; supposons qu’il y soit contenu 5 fois, plus un reste inférieur au mètre. On cherchera combien ce reste contient de décimètres; supposons qu’il en contienne 5, plus un reste inférieur au ilécimètre. On mesurera ce nouveau reste à l’aide du centi-

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mèire el, s’il eu coiilieiit exactemenl y, on dira que la droite considérée est une longueur de 5", 5g.

Si la droite donnée est plus petite que le mètre, on emploiera immédiatement comme unité le décimètre ou le centimètre, étc.

Pour comparer deux grandeurs, il faut former le rapport des nombres qui les représentent :il faut donc chercher d’abord si ces grandeurs contiennent exactement une même unifé, si elles ont une commune mesure.

Deux lignes droites étant données, on trouve leur plus ffrande commune mesure en opérant sur ces droites absolument comme on opère sur deux nombres pour trouver leur plus grand commun diviseur. On porte donc la plus petite droite sur la plus grande autant de fois que possible, le reste obtenu sur la plus petite droite, le second reste sur le premier, etc. L’opération est terminée lorsqu’on arrive à un reste contenu exactement dans le reste précédent. Ce dernier reste, est la plus grande commune mesure cherchée.

Désignons, par exemple, par A et D les deux droites données, par H, B', R", les restes successivement trouvés. Supposons que les résultats des opérations soient représentés par les égalités suivantes ;

\ = 3B4-H, B = 5R 4-H', .R = 2R'-i-R", B' = 7ir.

Ou en déduira facilement

R=i5R', B=82R", A = a6iR".

On en conclura donc, pour le rapport de A à B,

On peut remarquer que l’expression fractionnaire obtenue doit être irréductible. Si a6i et 8a admettaient par exemple le facteur commun 5, A et B seraient divisibles par 5 R" : R" ne serait donc plus leur plus grande commune mesure.

Il peut se faire que les deux droites considérées n’aient pas de commune mesure, qu’elles soient incommensurables. En cherchant leur plus grande commune mesure, on n’arrivera alors jamais à un reste nul, du moins théoriquement; caries restes successifs formant une suite décroissante, finissent bientôt, en vertu de leur petitesse, par échapper a tous nos moyens d’appréciation.

On peut néanmoins trouver le rap)tort incommcmsurabic de deux droites données, avec telle approximation qu’on veut. Supposons que les droites A et B n'alcnt pas de comtnune mesure et cpi’on demande- l’expression de leur rapport à o,ooi

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prés. On divisera B en looo parties égales : nous désignerons i’une de ces parties par a. On portera a sur A autant de fois que possible : supposons que A tombe entre 7815a et 7816a.

Le rapport^ tombera évidemment entre 2^1^ et -‘'^'^^ic’est- D 1000 a 1000 a

à-dire entre 7,8i5 et 7,816: le premier nombre représentera

le rapport cherché à 0,001 près par défaut ; le second, à 0,001

près par excès.

n. — Des angles.

10, Lorsque deux droites AB et AC partent d'un même point A en suivant des directions différentes , elles forment un a/ig/e {fig. 4). Le point A est le sommet de l’angle, les droites AB et AC, prolongées aussi loin qu'on voudra, en sont les côtés.

Pour avoir une idée exacte de la grandeur d’un angle, il faut supposer que le côté AB, par exemple, était d’abord couché sur le côté AC; puis qu’il s’en est éloigné en tournant autour du sommet A, pour venir prendre la position qu’il occupe. L’amplitude de ce mouvement de rotation correspond à la grandiur de l'angle.

On désigne un angle par là lettre placée à son sommet : on dira l’angle A. Lorsque plusieurs angles ont même sommet, on les distingue en lisant en outre deux lettres placées sur leurs côtés; on a soin d’énoncer au milieu la lettre du sommet : on dira l’angle BAC.

Fig. 4.

11. Deux angles sont adjacents, lorsque, avant un sommet commun et un côté commun, les côtés non communs sont

Fijy 5. Fi(j. n.

situés de part et d’aulre de ce côté commun. Les angles BAC, CAD [fig. 5 ) , sont adjacents. Lorsejue deux droites se coupent, elles forment deux angles adjacents : lorsque ces angles adjacents sont égaux, la première droite est dite perpendiculaire sur la seconde; elle est dite oblique dans le cas contraire. La droite AB [Jig. 6) est perpendiculaire sur la droite CD, parce que les angles adjacents CBA, DBA, sont égaux. La droite EF {fig. 7) est oblique surda CH, parce que les angles adjacents CFE, Hf%, sqiÜilW^àx.'' Le point B est le

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pied de la perpendiculaire, le point F est le pied de l’oblique. Les angles adjacents égaux CBA, DBA, sont appelés droits. Un angle droit est un angle dont l’un des côtés est perpendiculaire sur l’autre.

12. Par un point pris sur une droite, on peut toujours lui élever une perpendiculaire, mais une seule.

Par le point A de la droite DB, menons une droite quelconque AE. Si les angles BAE, DAE, sont égaux, AE sera pcr-

Kic, 8.