A/= — 3, A’/=6, AV

Par suitj,, h devenant 0,1, on aura (leA’> qui corresjwnd àx=r — i étant o) :

lî’r — o , 006 ; ~ o , 006 j — o , 001 4 o, 1 ( — 3 — 1) = — o, 399.

*DiC3itizt-i Ciiî'Ogle

COMPLÉMENT d'algèbre.

Ces résultats permettront de former le. tableau suivant :

On voit que la racine cherchée est comprise entre o, a eto,3.

Si on veut l'obtenir à o, oi prés, il faut partager l’intervalle qui sépare 0,2 et et O, 3 en dix parties égales. La raison de la progression arithmétique formée par les valeurs attribuées à la variable, devient o,’oi do o, i qu’elle était , c’est-A-dire lo fois plus petite que la précédente. On peut donc déduire les nouvelles différences des précédentes, au moyen des mêmes formules (2o0).

Pour o, a,ou a

)'=o,2o8; A/=— o,38i; à’j=o,oi8; A’j'=:o,oo6.

Par suite, on aura (le A’/ qui correspond^ =■ o,i étant 0,012) ;

3^^=0,000006', 0,000 126 oj!'= — 0,038739.

Ces valeurs nous permettront d’établir lo tableau suivant. Pour plus de "rapidité dans l'écriture , nous écrirons tes ilij[fcrcricr.<! trouvées en négligeant la virgule. Nous la conserverons seulement dans les valeurs des r.

o,2o8ih>o

o.ai

On voit que la racine chereWo est comprise entre o, 25 et 0,26.

On iwurra continuer de la même manière pour on approcher davan- ' tage.

Pour trouver la seconde racine positive ou la racine négative, on suivra une marche identique. *

Dans lo cas qui nous occu[)C, la résolution directe (Livre lll,,chap. vi) est d'ailleurs bien préférable.

2S2. Soit l’équation .H — 7.r-t-7- o, déjà résolue (â20).Cs3tte équation

gitizp^ by Gooj^le

CUMPLÉMENT O ALGEBRE.

a deux racines positives et une racine négative. 2 est une limite supérieure des racines positives, — 4 une limite inférieure de la racine négative. La fonction prend les valeurs i3,7, i.pour les substitutions —1,0,1. On aura donc — 6, — 6, pour les doux différences premières correspondantes, O pour la différence seconde , 6 pour la différence troisième constante. On établira, par conséquent, le tableau suivant pour les substitutions entières : ■ .

On voit qu’il y a une racine négative entre 3 et — 4- Quniu uttx rucines /jositives , elles ne sont pas encore séparées, de sorte qu’elles \ ‘ Fig, 8. . . - -.1 tombent toutes les deux entre deux

nombres entiers consécutifs.

Pour déterminer l’intenalle correspondant, on a deux moyens à sa disposition.

A l'aide du tableau formé, traçons la courbe qui représente la marche do la fonction entre x = — 4 et X = 2 , en prenant pour échelle des longueurs le demi-centimètre.

La forme de la courbe obtenue indique immédiatement que les deux racines positives sontcomprisesentre 1 et 2. Si l’on ne savait pas d’avance que ces racines existent , la conclusion serait la même ; car une droite parallèle à l’axe des abscisses ne pouvant pas couper la courbe en plus (le trois points ( * ), la forme générale - indiquée est bien approximativement celle de la courbe représentative de la fonction. Et dès lors, si la courbe rencontre l’axe des abscisses à droite 1 du point O, ce no peut être qu'entre lee points 1 et 2.

(’) En cITct, soit d la distance de la droite parallèle à l'axp des ahscisses; si cpllo droite coupait la courbe <*n plus de trois points, l’cquationx' — ~x =

aurait plus de trois racines.

6o4 COMPLÉMENT d'aLGÈBRE.

On peut encore consulter la déricée de F équation proposée. Cette dérivée est 3x’ — 7 = 0. Si l'équation donnée a, en effet, deux racines positives, l'équation dérivée en aura une comprise entre elles (215). La racine positive de l’équation dérivée est ; cette racine tombe entre I et 2. Donc, si les racines positives de la proposée existent, comme elles doivent comprendre et tomber entre deux nombres entiers consécutifs, il faut qu’elles soient elles-mêmes comprises entre i et 2.

Il ne restera plus qu'à partager l'intervalle de t'à 2 en dix parties égales, pour avoir les deux racines à o, i prés.

Pour X = I , on a ' .

jr — i, = O, . A’/ =12, ùk'jr = 6. - • '

Le A’/ qui correspond à x = o étant 6, on aura ;

J’/=ô,oo6; 0,066; Sy=z — o, 36g.

Nous formerons donc le tableau suivant, en négligeant la virgule des différences pour simplifier l’écriture :

GG

+ o,oi3

On voit que l’une des racines cherchées est comprise entre i,3 et 1,4 et que l’autre tombe entre 1 ,6 et i ,7. ' -

On pourra approcher davantage des deux racines, en suivant le même procédé.

Équations de degré supérienr.

253. Pour montrer comment la méthode dos différences peut s’appliquer aux équations de degré supérieur, nous choisirons l'équation du quatrième degré.

Nous indiquerons d’abord une manière expéditive de déduire alors dans chaque ras particulier, tics premières différences obtenues, celles qui rorrrsjxmdent h une raison dix fois plus petite.

Nous savons (237) que

' complémeut d’\lgèbbe. - 6o5

Dans le cas du quatrième degré, A/, est une fonction du quatrième degré en h, sans terme constant. On peut donc poser

r, = -t- A A 4- B A’ + CA’ + D A‘.

D est connu*, ce n’est autre chose (113) que le coefficient de x' dans l'équation proposée.

Pour passer de r, à jr, ou (c’est-à-dire du résultat qui correspond à .r,-t- A à celui qui correspond à j-, -t- a A ou à x, -t- 3A) , il suffit do remplacer A par a A ou par 3 A. Il viendra donc :

. /j =7', 4- aAA-l- 4BA’ -H 8CA*4-i6DA‘,

= J, 4- 3 A A-4- gBA’ -f- 27CA’4-8i D A‘.

On en déduit ( 335 ) ;