Appliquons ce qui précède à l’équation

Cette'équation peut avoir, d’après le théorème de Descartes, quatre ou ^ deux racines positives, ou pas du tout. La transformée en — x ne présentant aucune variation, il n’y a pas de racine négative. On voit, facilement que 5'est une limite supérieure des racines positives, si elles existent. Formons le tableau des substitutions entières.

6o6 CUMPLÉMEIIT D'ALGÈBaR.

Il n'y a |taâ de changement de signe. Donc, si les racines positives existent, elles tombent entre deux nombres entiers consécutifs.

Si l’on construit la courbe des valeurs obtenues, on voit que c'est pmbablement entre a et 3. C’est donc cet intervalle qu’on partagera en dix parties égales. ,,

On a ici

A r, = 5 , A’ J. = ay4 , = 43a , A*/. = 192.

Les équations à résoudre seront, par conséquent (353), ,

274 = aB + 6C-I- 1 12 ,

On en tire immédiatement ,

Par suite,

Ces résultats permettent d’écrire le tableau ci-dessous. Nous négligerons, pour plus de rapidité, la virgule des différences.

— 3i5oo

1 5oao

Il y a changement de signe, quand on passe de 2,1 à 2,2 et de 2,8 à 2,9. L’équatiop proposée a donc deux racines positives, l’uno comprise entre 2,1 et 2, a, l’autre entre 2,8 et 2,9.

Rigoureusement , le tracé de la courbe ne permet pas d’affirmer qu'il n’y a pas de racines entre o et 1 ou entre i et 2. Pour lever cette difficulté, prenons l’étjuation dérivée

Cette équation revient à '

lO.r* — 60 -1- 57 .r — 20 =- O.

Digitiztd bv Gi '

COMPLÉMENT o’aLGÈBRE.

Je fais disparaitre le cocfficienl du premier terme en jwsant

ys=z iGj;.

Il vient

Pour faire disparaître le second terme, je pose

11 vient

Celte équation a uno seule racine réelle positive, comme il est facile de s’en assurer on appliquant la règle connue ( 217). Donc, l’équation dérivée n'ayant qu’une racine réelle positive, l’équation proposée ne peut pas en admettre quatre (216), et elle n‘a bien que les deux racines positives que nous avons tlélerminées à 0,1 prés.

On peut remarquer que la racine positive de l’équation en s est comprise entre 20 cl 21 ; donc, celle de l’équation en / est comprise entre

40 et 41, et celle de l’équation en x entre 7g ^ entre les nombres entiers 2 et 3. Par suilCj les deux racines positives de l’équation proposée devant comprendre la racine positive de l’équation dérivée et tomber entre deux entiers consécutifs, seront elles-niémes compri.sps entre 2 et 3. La courbe nous avait indiqué ce résultat d’une manière douteuse, l’équation dérivée nous y conduit d’une ma’nière certaine. Jdais il est beaucoup plus rapide d’esquisser la courber que d’étudier l'équation dérivée.

255. L’exemple que nous venons de traiter suffit pour indiquer comment on peut appliquer la méthode des différences aux équations du quatrième degré.

Si l’on a à calculer les racines incommensurables d’une équation du cinquième degré (il est rare que les applications conduisent au delà), il faudra Commencer par chercher les formules qui permettent rie passer des différences A aux différences 0', en suivant la marche indiquée au n“ 253. On n’aura plus ensuite qu’à former les Udileaux des différences, eu s’aidant de l’examen de la courbe qui représente la marche de la fonction et en consultant au besoin l’équation dérivée.

Application de la méthode des différences aux équations transcendantes.

256. On peut traiter les équations algébriques qui ne sont pas ries fonc-

tions entières et les équations transcendantes, comme les équations algébriques entières. ,

Lorsqu’on a substitué dans l’équation considérée des nombres équidistant», si deux substitutions donnent des résultats de signes contraires, il existe une raciuo entre les valeurs correspondantes de la variable. On insère dans l’intervalle trouvé dos nombres variant par degrés plus rapprochés, de manière à obtenir 'la racine avec une plus grande approxima:,-. . i tion. Si le tableau des différences prouve alors que les différences d’un - - * certain ordre peuvent être regardées comme nulles, on assimile ( seule- ' ment dans l’intervalle déterminé) la fonction considérée à une fonction

COXPLÉMBMT d'alGÈBAE.

algébrique, et l'on ramène la question à la résolution d’une équation algébrique.

C’est la marche qu’on suivra, lorsque les différences du troisième ordre ou celles du second ordre seront négligeables : on n’aura qu’à résoudre une équation du second ou du premier degré (2i4, 245).

Dans les autres cas, on séparera d’abord la racine à l’aide d'un petit nombre de substitutions convenablement choisies; puis, on pourra ep approcher après autant qu’on voudra, en appliquant la méthode de Newton, comme nous l’indiquerons.

257. Par un point A pris sur la circonférence d’un cercle, mener une corde AB qui détermine un segment Am B équivalent au quart de l’aire du cercle (Euler).

Soit R le rayon du cercle, soit z l’arc correspondant à l’angle AOB dans le cercle de rayon i. On aura

d’où

AmB

R’ Z R’ sin Z ttR’ ■X a ~ 4 *

Z — sin Z =

TC

Pour simplifier, posons z — ^ = j:, d’où sin r = cos.r. Nous aurons à résoudre l’équation

r , X— cosx = o.

de sorte que le problème proposé revient i trouver un arc égal à son cosinus.

La fonction x — cos x est évidemment croissante, comme l’indique d’ailleurs la dérivée