sinx. Quand x crolt.de o à la fonction

passe de la valeur — i à la valeur +-• Dor.c

l'équation donnée a une racine réelle et une seule, comprise entre les li

mites O et-a

I.a Table {voir a la fin du volume) qui donne les arcs et leurs rapports trigonométriques exprimés en parties décimales du rayon pris pour unité, montre immédiatement que l’arc cherché est nécessairement compris entre 4^° 43°. On a, en effet,

arc 4a° = o,733o et cos 42° = o,743i , jirc 43° = o,75o5 et cos 43° = 0,7314.

C’est, par conséquent, dans cet intervalle que la fonction change de signe en passant par zéro.

Désignons par y la fonction x — cos.r, et cherchons les valeurs de la ■fonction pour les arcs 4>") 4»", 43°, 44°- Nous aurons :

arc 41° = o,7i56 et cos 4 1° = 0,7547, *

arc 44° = 0,7(179 et cos 44" = 0.7193.

COHFLÉMEHT o' ALGEBRE.

On pourra alors former le tableau suivant :

Les différences du premier ordre sont, d’après ce tableau, très-peu différentes; de sorte ^ue, dans l’intervalle de 4»° à 43°i on peut regarder la fonction y comme une fonction algébrique du premier degré et employer la formule d’interpolation

y, est la valeur de la fonction pour x, ^1°.

Z désignant ce qu'il faut ajouter à 4a° pour que y devienne nulle , on aura

‘o^/. + d’où

L’unité étant ici le degré, z sera égàl à ■ ; ao'45”,6

et la valeur de x demandée sera , . .

■ ^ , 4a“ ao' 45>.

Cette valeur est exacte à moins de i’,6 par défaut, approximation trèsgrande, si l’on a égard à la rapidité des calculs qui nous y ont conduit. Eu revenant au problème proposé, on a pour l'arc cherché

et la corde qui sous-tendra ce dernier arc, retranchera du cercle (sauf l’erreur indiquée ) un segment équivalent au quart de sa surface.

2S8. Mener dans un cercle donné une corde qui le partage en deux segments, dont le plus grand soit une moyenne proportionnelle entre Fig. 10. Paire du cercle et Pautre segment (Concou|p de

l'École {polytechnique, iSSg). •’ .

Cherchons l’arc qui correspond au plus pcldr . segment.

Lorsqu’on divise une quantité quelÆnque en moyenne et extrême raison, la plus petite partie de* cette quantité en est une fraction marquée

par ? ~V^ . désignant le rayon du cercle par

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6lO COMPLÉMEhT U ALGEBnE.

K, on aura donc

segment A m D = — • r R’ .

* *JL

Désignons par x l'arc i^i, dans le cercle de rayon i, correspond à l’angle AOB. On aura

.. R’sinx

• segment A R = •

Par suite, l’équation du problème sera . .

R’x R’sinx 3 — v'S ,

^ . X — sinx — ( 3 — \/s) T. ^

, Fn elTocluant le calcul indiqué dans le second membre, il viendra

X — sinx — î,399pf>32 ::= O.

Pour «X = Oo", le (iremier membre se niduit à — i,829(î6C<); pour j:=i8o'’, il devient -4- o.-4iüa94- radiie cherchée lomtiera donc entre 90" et 180", mais beaucoup plus j+es de i8o".

Il faudra donc partir do 180", .et faire varibr d'abord xde 10" on 10" en romonlanl. Si l’on se sert de la table déjà indiquée (2.S7), on trouvera les valeurs suivantes (y représente toujours la fonction ) :

* .i ^iGo®. o.oâoâ..

x=iâo", V— — 0.2820. • •'

La racine demandée tombe donc entre à: = iGo"elx= i5o", et est beaucoup plus près de iGo“.

Nous allons donc faire varier x de degré en degré, toujours en remontant. Il vient

•r=ià9°, y= 0,0167.

La racine cherchée tombe donc entre >58 et iSg", à peu prés à égale distance de ces deux limites.

'Nous sommes ainsi conduit à former le tableau suivant :

COMPLÉMEMT u'aLGÉBRE.

i58"45' etquo, dans cet intervalle, ou peut regarder la différence seconde comme constante, c'est-à-dire remplacer la fonction proposée par une l'onction algébrique du second degré.

Z étant ce qu’il faut ajouter à i.'18‘’3o' pour avoir la racine demandée ou pour que y soit nulle, on aura (2il)

est la valeur de la fonction pour 158" 3o'. On déduit'de la relation posée

: - Ü è!Zî.

La racine, d’après une remarque précédente, doit peu s’écarter de i58"3o'. On commencera donc par négliger le second terme du ^ond membre, et l’on prendra d’abord ^

O.OOOI 177

Remplaçant alors z par cette valeur dans le second membre de l’équation |•omplète, on a plus exactement ’ ■»

X variant dans le tableau formé de i5' en i5', cette valeur de z

équivaut à

, 0,01397.34x15' ou a ia',576.

l’ar suite, l'arc demandé est égal à

valeur qu'il est facile de vérifier.

Ia» dérivée de la fonction

X — sin r — 2,3999632 est 1 — cosx.

Cette dérivée étant toujours positive, quel que soit .r, la fonction pro- [losée est constamment croissante et n’admet pas d'autre racine que la racine trouvée.

S.'iO. Soit l'équation

X* — 100 = 0 (Euler).

n sera plus commode de la mettre d’abord sous la forme suivante, en prenant les logarithmes :

î’est-à-dire

xlog.r — log 100 = O .

X log X — — O .