VI. — Des polygones et, en particulier, des quadrilatères

38. Toute ligne brisée qui se ferme d’elle-mème est un polygone .‘Les différents côtés de la ligne brisée sont les côtés du polygone ; les angles formes par ces côtés et les sommets de ces angles sont les angles et les sommets du polygone. En joignant deux sommets non consécutifs, on a une diagonale du polygone. I.’enseinble des côtés du polygone constitue son contour ou son périmètre.

Un polygone de trois côtés est un triangle. Celui de quatre côtés s’appelle quadrilatère. Celui de cinq côtés s'appelle pentagone, celui de six s’appelle hexagone, celui de sept heptagone, celui de huit octogone, celui de neuf ennéagone, celui de dix décagone, celui de douze dodécagone, celui de quinze pehtédécagone.

Un polygone est convexe, lorsqu’il tombe tout entier d’un même côté par rapport à chacun de ses côtés indéfiniment prolongés. 11 est concave dans le cas contraire. Une droite quelconque ne peut couper le périmèfre d’un polygone convexe qu’en deux points.

39. La somme des angles d'un polygone convexe est toujours égale à autant de fois deux angles droits qu’il a de côtés moins deux [Jig. 3? ).

. Soit le polygone ABCDEF. En menant toutes les diagonales qui partent du sommet C, je le partage en triangles. Chacun de ces triangles emploie un côté du polygone, sauf les deux triangles extrêmes qui en emploient deux. Si n est le nombre des côtés (lu polygone, le nombre des triangles sera donc représenté par n — 2. La "somme des angles de tous les triangles est précisément la somme des angles du polygone, et la somme des angles de chaque triangle est égale à deux angles droits. La somme des angles du polygone sera donc, en prenant l’angle droit pour unité,

y ' n — 2) ou 2rt — 4’

Si l’on fait dans cette formule n = 4. on trouve 4 pour la somme cherchée. La somme des angles d'un quadrilatère est donc égale à quatre angles droits.

La somme des angles qu’on forme à l'extérieur d'un poly'gone, en prolongeant successivement ses côtés dans le même

Fig.

t;ÉOMÉTt\lE.

sens, est toujours égale à quatre angles droits. Car lu soin rue des angles tant intérieurs qu’extérieurs, est égale à ?.« angles droits, en désignant par n le nombre des sommets ou des côtés du polygone convexe considéré.

lien résulte qu’un polygone convexe ne peut pas avoir plus de trois angles intérieurs qui soient aigus; sans quoi, il au tait plus de trois angles extérieur obtus.

iü. Deux polygones de même espèce sont égaux, lorsque toutes leurs parties sont égales et disposées dans le même ordre, à l’exception de deux côtés consécutifs et de l’angle qu’ils forment [Jig. 33). 4

Soient les deux iiexagones ABCDEF, A'B'C'D'E'F'. Je suppose égaux les angles A et A', B et B', C et C', D çt D', Ê

et E', ainsi que les côtés AB et A'B',BC etB'C',Cüet C D', DE et D'E'. Je porte les deux polygones l’un sur l’auii'e, de manière que les angles A et A' coïncident : A' F' prendra la direction de AF, A' B' et AB se confondront. L’angle B étant égal à l’angle B', le côté B'C' prendra alors la direction du côté BC, et comme il lui est égal, les sommets C' et C se confondront. Il en sera de même des sommets D et D', E et L'angle E' étant égal à l’angle E, le côté E'F' prendra la direction du côté EF, et le sommet F' devant se trouver à la fois sur les côtés EF et AF tombera à leur intersection F. Les deux polygones ayant mêmes sommets se recouvriront exactement et seront égaux.

On voit que si les polygones considérés ont n côtés, il faut qu’ils aient pour être égaux « — i angles égaux et n — 2 côtés égaux. Les conditions nécessaires pour l’égalité des deux polygones considérés sont donc au nombre de vn — 3.