La réciproque de cette proposition est vraie

Supposons, par exemple {fg. 27), que les angles alternes-

internes ELM, LMF, soient égaux ; je dis que les droites ED et GF' seront parallèles. En effet, si l’on menait par le point L une parallèle à GF, elle ferait avec LM un angle égal à l’angle LMF' : la droite ED, remplissant déjà cette condition, n’est autre que la parallèle indiquée.

Ou démontrerait d’une manière identique les autres parties de la réciproque.

33. Les propositions contraires des deux précédentes sont vraies. En particulier, lorsque deux droites font avec une sécante deux angles internes d un même côté dont la somme est inférieure à deux angles droits, elles se rencontrent. Ainsi, une perpendiculaire et une oblique à une même droite se rencontrent toujours lorsqu’on les suppose sufiisamment prolon-

Fig. 57

r.ÉOMÉTIUK.

g(*ps. C’csl là le postulnliiin sur le(|uol Eiiclide base la théorie (1(*5 parallèles. xNous avons remplacé la Jenuinde d’Euclitle par celle-ci : Parmi même point, on ne peut mener qu’une parallèle à une droite (28).

3'». Les portions de parallèles comprises entre deux droites parallèles sont égales {/Ig- 28).

Soient les parallèles AE et HD coupées par les parallèles AH et (;D. Joignons les points E et B. I.es deux triangles AEB et EBD

seront égaux d’après b* second cas d’égalité (18) : on en déduira VE— BD, on aura de même AB = ED.

Si les droites AE et BD étaient perpendiculaires aux droites AB et ED, elles seraient toujours parallèles; mais elles mesureraient alors les distances de deux points (|uclconques de la droite AB à sa parallèle ED : il en résulte que deux droites parallèles sont partout également distantes.

3.^. Deux angles qui ont leurs côtés parallèles sont égaux ou supplémentaires [Jig. *29)-

Soient d’abord les angles ABE, DEF, qui ont leurs côtés pa- • rallèles et dirigés dans le même sens. Je prolonge DE jusqu’en II.

Si l’on considère les parallèles AB, 1)11, et la sécante B(^ les angles AB(' et DUE sont égaux comme corres|)ondants. Si l’on considère les parallèles EF, HE., et la sécante DH, les angles DUE et DEF sont égaux comme correspondants. Il en résulte l’égalité des angles ABE, et DEF.

Soient maintenant les angles .\B(' et lElI qui ont leurs côtés parallèles, mais flirigés en sens contraires. Ees deux angles seront encore égaux,’ puisqu’en i)rolongeant les côtés de l’angle IF3I, on obtiendra l’angle DEF égal à l’angle \BE.

Soient enfin les angles ABE, et DEI : les di-ux côtés AB et DE sont [larallèles et dirigés dans le même sens, les deux côtés BE et El sont itaralleles et dirigés en sens contraires. 1,’angle DEI étant It^ suiiitb'mienl de l'angle DEF. <‘st aussi le siqiplémenl de l’angle ABE.

En résumé, lorsque tleux angles ont leurs côtés parallèles, ils sont égaux lorsque ces côtés sont dirigés dan?i le même sens ou en sens contraires; ils sont suppléntontaires, lorsqu’en les comparant, on trouve deux côtés dirigés dans le même sens et deux côtés dirigés en sens contraires.

Fi(». 79.

K II r.

Fiç. 38.

Digiti-od by Goo^^^Ic

(lÉOMltTIllE.

:U>. Deux (tuiles qui oui leurs côtés perpendiculaires cliurun à chacun, sont é^aux ou suppléinenlaires.

SoiciU les deux angles ABC cl UEF {Jig. 3o) : AB est perpendiculaire à DE, BC esl perpendiculaire à EF. Par le Pj^ point B, je mène BL perpendiculaire à

- F AB ; BE sera parallèle à DE; par le point B, je mène BH perpendiculaire à BC, c’est-à-dire parallèle à EF. Les ' deux angles LBll et DEF seront égaux ® I comme ayant leurs côtés parallèles et

I dirigés dans le même sens. Mais les ^ deux angles LBll et ABC sont égaux comme compléments du même angle DBA ; les deux angles ABC et DEF sont donc égaux.

Si l’on avait considéré l'angle DEG, il aurait été le supplément de l’angle ABC.

:17. -La somme des an(^les d'un lrian{fle est toujours égide à deux angles droits [^fig. 3i ).

Soit le triangle ABC. Je |>rulonge le côté AB suivant AE, et j<; mène AD parallèle à BC. Considérons les trois angles formés autour du point A et au-dessus de la droite BE : la somme île ces irois angles est égale à deux angles droits (13). Le premier de ces angles est l’angle CAB du triangle; le second DACest égala l’angle Cdu triangle, car ces angles sont aliernes-internes par rajtport aux parallèles BC Cl .\D et a la sécante' AC; le troisième angle DAE est égal à l’angle B du triangle, car ces angles sont correspondants par rapport aux mêmes parallèles coupées par la sécante BE. La somme dos angles du triangle est donc liien égale à deux angles droits.

L’angle CAE.lormé par le côté AC et le prolongement AE du côté AB s’appi^Ûe angle extérieur du triangle ABC. Ih angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

l u triangle ne peut avoir qu'un seul angle droit ou ohtus. Dans un triangle rectangle, les deuxangles aigus sont complémentaires.

Dans un triangle équilatéral, chaque angle vaut deux tiers if angle droit .

Dans un triangle isocèle, la valeur d'un angle étant donnée, on connaît les deux autres angles.

Deux triangles sont équiangles chacun à chacun, lorsqu ils ont deux angles égau.v chacun à chacun.

Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un côté égal et

GÉOMÉTRIE

deux anf^les é^aux chacun à chacun, que ces angles soient ou non adjacents au côté égal.