I.a rt^dpiuqtie csl . vraie 34 ;• Supposons d'aliuril les

iHigles opposés t‘f;au\. De A = (. et Ü = l^, un cuiicliinr A 4- 15 = C + IK Les deux angles A cl U valcnl donc ensemble la inoiiié de la somme des angles du quailrilalère ou deux droits; ils sont donc supplémentaires. Par suite; , comme ils sont inlornes d un même rôle par rapport auxdroitcs Al).

IJi;. et à la sécante AU, les droites AD et BL sont parallèles ^:V2). On prouverait de même que les droites AB et DC sont parallèles. La ligure ABCÜ est donc bien

un parallélogramme. iir i

Supposons maintenant qn'on ait AB — DL et .\D— nt>. l es deux triaiigles ADB, DBC. sont égaux comme avant leurs trois ^.fôlés éuaux cbacun à chacun. Les angles ADB et DBt. sont .,-^âaux et, < onime ils sont altcrncs-inlernes jiar rapport aux H^droiies \D, BL, et a la sécante DB, les droites AD et B(. sont ^ parallèles. L égalité des angles ABD, BDt;. entraîne de même lè îwralléiisme des droil(;s AB et DC. Le quadrilatère considéré est encore un parallélogramme.

/ont quadnlnlèn' dans h qio'l deux fèl^s opjwsrs sont à Infois {-«aux fl fntralUdrs, est un paridlêlo^rnmme.

' Si Ton a AD égal et parallèle à BC, les deux triangles ADB, DBC, sont égaux d’après le premier cas d'egalilé ; car DB est commun et lcs,angles ADB, DBC, sont égaux comme alternesinternes par rapport aux parallèles \D et BC et a la sécante DB. D en résulte \B=DC.

’r3. Ixs diapon/des d'nn pnmlléloprninine sont inép;ale.s et se divisent inninellenient en parties épales [/!{'. 35).

I.es triangles AOB, DOC, sont égaux d apres le second cas d’égalité ; car les côtés AB et DC sont égaux (4'2), et les angles

\BOet ODC, BAO etOCD le sont aussi comme alteriies-inlernes par rapport aux pandlèles AB et CD coupées par les sécantes BD et AC. On en conclut AO = OC et OB = 0D.

l,es diagonales .\C et BD siuii

d’ailleurs inégales: car les deux irian-'les ADC et BCD ont le côté DC commun, le côté AD est égal au côté BC; mais l’angle ADC est plus petit que l’an- 'de BCD, puisque <'es angles ('tant supidementaires, si 1 un est aigu, l’antre est obtus. Donc la diagonale AC est ]ilus petite

que ia diagonale BD [ 1!)). , , /

I.orsqne les din^omdes d'nn nnndrilntere se ronprnt iiintnetlenient en parties épnies. ee qnndiilnUxe est un pnrallélo-

r.l'OMÉTRlE.

par

Fie- y-.

{flamme. Celle réc ipiiM|ue esl immétiialemenl iléinonlii't l’égalilé des Iriaiigles AOH, DOC.

■H. Lorsque dans un [landtéloi'rnmme l’iin îles angles est droit, tous les antres le sont, et le quadrllati-re est un reclauffle 'Jiff. 3(i).

Si l’angle \ esl droil , l'angle Oj(pos(* Il l'csl aussi ( 'f2); les aiigli*s H el D sonl droils connue suppléments d’angles droils.

Dans un rectaiiffle les diuffonalessont éga- /«/car les Iriangles reclangles .MIC, B VD, sonl égaux.

i5. L n losange est un paralUdogramme [Jig. 37); car les «|ualre côlés élaiil égaux , il en esl de niêine des angles opposés (V2).

Dans un losange, les diagonales sonV perpendiculaires entre elles. La diagonale .VC esl p(‘rpendicnlaire sur le inilit'ii de DB, j)nis(jne les puinls A cl C sonl (‘galeinenl disianls des poinls 1) el B. La diagonale DB esl perpendiculaire sur le milieu de .VC, puisque les poinls D el B sonl égalemenl disianls des poinls .\ el C (25).

46. Le carré réunit les propriétés du rectangle et du lo- Fig. 38. sauge [Jig. 38) : ses diagonales sont (‘gales . el perpendiculaires enlre elles.

47. Pitrmi les trapèzes, on considère les trapèzes rectangles dans h'squels un celle esl perpendiculaire aux deux C('ilés parallèles; cl les trapèzes isocèles ou symétriques dans les(|ucls les deux cèles non parallèles sonl égaux [Jig. 3y).

Dans un trapèze isocèle, les angles formés par les côlés parallèles avec les deux autres côlés sont-é^aux. Menons DE parallèle à CB : la figure DCBE sera un parallélogramme, el l’on aura DE = CB. Puisqu’on a D.V = CB par livpollièsc, le Irianglc .VDE sera isoc/îlc ; l’angle A sera donc égal à l’angle DE.V el, par suile, à l'angle B (35). Les angles D el C sonl alors égaux comme supplémenls d’angles égaux.

48. Deux parallélogrammes sonl égaux, lorsqu’ils onl un angle (’gal compris enlre deux côlés égaux chacun à chacun; deux rectangles sont égaux, lorscpi’ils onl deux côlés adjacenls égaux chacun à chacun; deux losanges sonl égaux, lorsqu’ils onl un ci4l(V égal el un angle égal; deux carrés sonl égaux, lors<|u’ils onl un côté égal (40 .

Fin. 39.

D.igitked by

CÉOMÉTBIE