I. — Des arcs et des cordes

W. La circonférence de cercle est le lieu géométrique de tous les points d’un plan à égale distance d’un point intérieur • nommé cenhe. C’est la seule ligne courbe qu’on considère dans les éléments.

I>a portion de surface plane limitée par la circonférence s’appelle‘ce/-c/c.

Toute ligne menée du centre à la circonférence est un rayon : tous les rayons sont égaux. On désigne une circonférence par son rayon.

On appelle arc une portion quelconque de |a circonférence : la corde d’un arc est la droite qui joint les extrémités de cet arc. A chaque corde correspondent deux arcs dont la somme constitue la circonférence : on ne s’occupe ordinairement que du plus petit de ces deux arcs.

Toute corde passant par le centre est un diamètre : tous les diamètres sont égaux puisqu’ils équivalent à deux fois le rayon.

La circonférence est une courbe convexe, c’est-à-dire qu’elle ne peut être coupée par une droite en plus de deux points. S’il en était autrement, on pourrait mener du centre à une même droite trois droites égales ; ce qui est inadmissible. En effet, d’un point à une droite on ne peut mener plus de deux obliques égales {24}.

50. La plus (rrande corde qu’on puisse mener dans une circonférence est’ un diamètre ; tout diamètre divise le cercle et sa circonférence en deux parties égales [fig. 40).

Soit la corde .\B; je mène, par le point .\ le diamètre AC, et je joins le centre O au point B. Le triangle AOB donne.

AB < AO -f- OB ou A B < AC,

Si l’on ])lic maintenant la figure le long du diamètre AC pour rabattre la partie supérieure du cercle sur sa partie inférieure, je dis que les deux portions de circonférence déterminées par le diamèt. c .\C se recouvriront complètement. S’il n’en était pas ainsi, si le point B, jiar exemple, tombait en B,, les ravonsOl) et <4B, seraieni inégaux, <le sorte qu’il

Fie. -io-

céOMÉTRlE. 25

y aurait des points de la circonférence inégalement éloignés du centre.

51. Dans le même cercle ou dans des cercles de rayons égaux, à des arcs égaux correspondent des cordes égales; réciproquement , à des cordes égales correspondent des arcs égaux, pourvu que les arcs considérés soient tous les deux plus petits ou plus grands qu’une demi-circonférence [Jig. 4')'

Soient lés deux cercles de rayons égaux OA et IC : ces deux cercles coïncideront nécessairement si l’on fait coïncider leurs

centres. On peut les faire coïncider de manière que le point C tombe au point A. Si l’on suppose alors que l’arc CI) soit égal à l’arc AB, le point l) tombera au •’ point B. Les deux cordes CD et AB coïncideront donc et se- .

ront égales.

Réciproquement, si les cordes CD et AB sont égales, les deux triangles CID et AOB seront égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. L’angle CID sera donc égal à l’angle AOB. Si l’on porte les deux cercles l’un sur l’autre de manière que les rayons IC et OA coïncident, le rayon ID prendra la direction du rayon OB, et le point D tombera au point B. Les deux arcs CD et AB coïncideront donc et seront égaux.

52. Dans le même cercle ou dans des cercles égaux, à un plus grand arc correspond une plus grande conle, et réciproquement. 11 est bien entendu qu’on considère toujours des arcs plus petits qu’une demi-circonférence.

Soient le cercle IC égal au cercle OA et l'arc AU plus grand que l’arc CD [fig. 4«) : Je dis que la corde AU sera plus grande que la corde CD.

Je prends l’arc AB égal à l’arc CD : la corde .\B sera égale à la corde CD (51 ), et la question sera ramenée à comparer les deux cordes AH et AB. Je Joins OB; le rayon OB se trouvera nécessairement dans l’angle AOH, puisque le point B doit se trouver entre les points A et II. L’angle AOB sera donc plus petit que l’angle AOII. Si l’on compare alors les deux triangles AOB et AOH qui ont un angle inégal compris entre deux côtés ^égaüx, on en conclura immédiatement All;>AB (19).

Iji réciproque est évidente.

On voit qu’il existe entre deux cordes la même relation qu’entre les arcs qu’elles sous-tendent, pourvu que ces arcs soient plus petits qu’une demi-circonférence. Si l’on considérait des arcs plus grands (pi'une demi-circonférence, la corde

OÉCJMÉÏUIE.

hcTitil d’aiiliiiil |il lie- 4'J-

ur, peiiie ail coiurairci|ue l’arc sérail plusfiraiid.

Il csl êvideiU d’ailleurs que le vap/tori de deux mes n'est pas éf'al à celui de Ictus cottles.

Si l’arc AB esl double de l'arc AC, la cordc AB esl plus petite ([ue A(i-i-CB, c’est-à-dire ]dus jieliie tpie le double de la corde \C