II- — Perpendiculaires et parallèles dans le cercle

’>3. l.e duuneire perpendiculaire à une conle divise en deux parties éirales cette corde et les mvs tpt’elle sous-tend [fii;. 43).

S(»ient la corde CI) el le diamètre AB qui lui esl perpendiculaire : plions la ligure le long dn iliainètre.AB. l.e point 1) lombera sur IKi, piiistpie les angles en 11 élanl droits, 111) preiul la direciion do IIC; le point I) lombera aussi sur la demi-circonférence ACB : il lotubera donc an |>oinl C. lll) élanl égal à IIC, le poinl 11 est le milieu de la corde Cl). L’arc Bl) coïncidani avec l’arc BC, ci l’arc Al) coïncidant avec l’arc AC, les points B et A seront les milieux des arcs sous-tendus par la cord(t C.l).

Le diamètre AB remplit cinq conditions : il passe jtar le centre, il est perpendiculaire sur la corde CD, il passe par son milieu et par les milieux des arcs qu’elle détermine. Deux conditions suflisant pour déterminer une droite, dès (prune droite remplira deux des ciinj conditions énoncées, elle remplira forcément les trois autres, lài pariiculier, si l’on joint le centre au milieu de la corde, on a un diamètre perpendiculaire sur celte corde et «lonl les exiiémilés sont les milieux des arcs .sous-tendus |)ar la corde.

L(* lieu géométrique des jioinis milieux d'un système de cordes parallèles esl évidemment le diamètre mené jterpendiculairement à leur direciion.

i'iR. .i:i.

oi. Deux cordes éf^ules sont é<r(dement cloit^nées du centre Kij, /,}. et, de. deux cordes inéf^ules, la plus petite

est la plus éloif^uée du centre (Jip;- 4Î)- Soient les deux cordes égales AB et CD.

\ .l’aliaisse du centre stir ces cordes les perpendicidaires OE et 01'. Les points E et E. j seront I(*s milieux des deux cordes ( H3). Dès ^ lors les deux lriangl(*sj'eclangles E()B, FOC, seront égaux ('iB. ?.“) el l’on aura OE = OF. l’renons inainlenant un arc AC [dus petit fpie Tare ,AB ; la corde A(! sera plus peiilè (pie la corde AB (5'2).

Vf"

GÉüMÉ’iiiii;.

La |ieri>ciuiiculaiio OU abaissée tlu ceiilre sui- la corde A(î, coupera nécessairement la coi de AH au point 1, car les points 0 et H sont de cotés diliércnts par rapporta AH. On aura donc Oi<;OH. 01 étant une oblic|ue à AU, on aura à plus lorte raison OE<;|t)ll.

La réciproque do cette proposition est évidente, c.’est-à-iliro (|iie les distances d(;s cordes au centre ont entre elles la même relation inverse <]ue les cordes elles-mêmes, sauf dans le cas il’égalilé.

5o. Trois points non en lif'ne droite déterminent une circonférence l'i'i ).

Soient les trois points A, H, C, non situés on ligne droite. Je mène les droites AH et H(]. J’élève DK perpendicidaire sur le milieu de Ail, K(1 perpendiculaire sur le milieu de Hti. Ces deux perpendiculaires se. rencontreront en un point O ; en elTel, si l’on joint DK, la somme des angles internes il’un même côté ODK et OKI) sera inlérienre à deux angles droits (33). Le point O •'tant à la fois c‘galement distant des points A et H et des points B et C, sera à égale distance des trois [loinls A, H, (]. Par suite, si du point O comme centre, avec OA pour rajon, on décrit une circonférence, elle passera par les trois points donnés. Et comme il n’v a qu’un point 0 à égale distance des points A, B, C, il n’y a aussi qu’une circonférence jiassant par ces points.

D’après ce tliéorème, trois points non en ligne droite suflisant pour déterminer une circonférence, dés que deux circonférences auront trois points communs (49), elles coïncideront.

5ü. Lorsqu’une droite AH rencontre une circonférence en deux points A et B {/if;. 4<>). on dit qu’elle est sécante à celte circonférence. .Si la sécante AH tourne autour du point A pour venir prendre une position telle que AH', le second |)oint d’intersection se rapprochera du premier. 11 arrivera un moment oit la sécante venant en AC, ‘les deux jminis d’intersection H et A se réuniront en un seul. On dit alors que la droite AC est tauf^ente à la circonférence au point A, qu’on appelle point de contact. La circonférence étant une courbe convexe, la tangente AC ne peut avoir qir'un point commun avec elle, -elle la /onc/te en ce pohtl. On peut donc définir la tangente à la circonférence, une droite (|ui n’a (|u’nn point commun avec elle; mais celle définition, applicable seulement aux courbes convexes, est moins générale que la priM édenie.

Fig. !\H.

Fie.

GÉOMÉTRIE

Toute perpendiculaire ù l'extrémité d’un rayon est tangente à la circonférence ; réciproqiipinenl, toute tangente à la circonférence est perpendiculaire à l’extrémité du rayon mené au point de contact [fig. 47 )•

Soit ('!) perpendiculaire à l’exlrémité du raxon OA. Toute droite telle que OB sera obli(|ue par rapport à CD. On aura donc 0B]> OA, c’est-à-dire que le point B sera extérieur à la circonférence. Le point B étant (|uelconque, la droite LD n’aura que le point A commun avec la circonférence :

elle lui sera donc tangente en ce point.

Supposons, réciproquement, que la droite CD soit tangente à la circonférence au point .A. Le point B sera extérieur à la circonférence, et l’on aura OB>OA. Dès lors OA représentera la plus courte distance du centre à la droite CD, et sera perpendiculaire sur cette droite.

11 résulte de ce théorème que, par un point pris sur une circonférence, on peut toujours lui mener une tangente, mais une seule.

On voit aussi qu’une tangente est parallèle au système de cordes que le diamètre mené au point de coiitacldivise en deux parties égales (53).

37. Deux parallèles interceptent sur une même circonférence des arcs égaux [fg. 48 )•

Soient les deux parallèles DE, BC, et soit la tangente FG qui leur est parallèle. Le rayon OA mené au point de contact sera perpendiculaire aux cordes DE, BC : le point A sera donc le milieu des arcs DE et BC, et l’on aura arc AD = arc AE. arc AB = arc AC. Il en résulte évidemment arc BD = arc CE.

Si l'on considérait la tangente parallèle à la tangente FG, cette tangente correspondrait à l’autre extrémité du diamètre qui passe par le point .A ; les arcs com|n is entre ces deux tangentes seraient donc des demi-circonférences.

58. Pour trouver la plus courte ou la plus grande distance d'un point à la circonférence, il faut le joindre aù centre [Jig. 4o ).

Soit le point A extérieur à la circonférence dont le centre est O'. Je joins le point A au centre; en prolongeant AO, j’obtiens deux jioints d’intersection B et C. Menons une droite quelconque \D. Le triangle OAD df»n-

F*C- .'ly-

r.tOMÉTRIE.

at)

liera OA <^(U)-i- AI). Helranchant de jiarl et d’autre le rajoii OB et le ra\on OD.il restera AB<[A1). Ou aura de même AO-t- 01) 3> Al), ce qui revient à AC> AI).

Si le point A est intérieur à la circonférence, le triangle OAD donne OD — OA <] AD , et si l’on remplace 01) par son égal OB, il vient encore AB< AD. On aura de même AD c^OA-i-OD ou AD<^ AC.

La plus courte distance cherchée est donc AB, la plus grande est AC.

On appelle normale à une courbe la perpendiculaire élevée, au point de contact, à la tangente à cette courbe. Dans le cercle, toutes les normales concourent au centre. La plus courte et la plus grande distance que nous venons de déterminer, se confondent avec les deux normales qu’on peut mènera la circonférence par le point donné.

in. — Positions mutuelles de deux circonférences.

59. Deux circonférences qui ne coïncident pas ne peuvent avoir plus de deux points communs (55) ; on dit alors qu’elles sont sécantes.

Lorsque deux circonférences se coupent, la ligne qui joint leurs centres est perpendiculaire sur le milieu de la conte commune.

En effet, la perpendiculaire élevée sur le milieu de la corde commune passe parles centres des deux circonférences (53) ; elle se confond donc avec la ligne des centres.

Deux circonférences sont tangentes, lorsqu’elles ont en un point commun une tangente commune. O point commun est nécessairement situé sur la ligne des centres , car les rayons des deux circonférences qui sont perpendiculaires à la tangente commune ne forment qu’une seule et même droite. Il est évident que deux circonférences tangentes n’ont qu’un point commun.

60. Deux circonférences ne peuvent occuper que cinq positions différentes, l’une par rapport à l’autre. Elles peuvent être : extérieures l’une à l’autre, tangentes extérieurement,

sécantes, tangentes intérieurement, intérieures l’une à l’autre.

1® Lorsque deux circonférences sont'extérieures l’une à F autre, la distance des centres est plus grande que la somme des rayons [Jig. 5o). On a, en effet,

Fig. 5o.

r.tOMÈTRIK.

-.>® Lorsque deux circonférences sont tangentes extérieurement, In (Ustunve des centres est égale à la somme des ru)-ons [Jig. 5i). En elfel, 1<* point de coninrl (les deux cireoniï'rences éuinl sur hi

Ki';. TiQ.

lifino deseenires, on nOO'=OA-|-0'A.

3" Lorsque deux circonférences sont sécantes, ta distance des centres est plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence {Jig- 5?.). En effet, le triangle OBO' (ionne OO' <; (>B -i- (VB. Il donne aussi 00'd-0'B>0B cl, par suite, Ot)'> OB— O'B.

4" L.orsque'deux circonférences sont tangentes intérieurement , la distance des centres est égale ét la différence, des rayons [fig. 53). En effet, le point do conta('t des deux circonférenres étant sur la ligne des rentres, on a OU' = OA — O'A.

5" Lorsque deux circonférences sont intérieures l'une à l'autre, la distance des centres est plus petite que la différence des rayons [Jig. 54). En effet, l'on a