IV. -r- Mesure des angles
- Gl. Eomme nous l’avons déjà dit en aritlimeli(jue, le rapport de deux grandeurs est le nombre fpii mesure la premii'n', lors- (|u’on prend la seconde pour unité.
Lors(iue deux grandeurs sont commensurahles , ieiir rapport est commcnsuralde avec l'unité , c’est-a-dire (]u il est exprimé par un nombre entier on fractionnain'. Soient deux grandeurs. A et B, désignons leur commune mcMire par m, et supposons qu’on ail .\~i~m, B=ç»/»i. l-c raj)poit de .V
CéOMÉTniK. 3l
à B sera
• — — ou — •
Lorsque deux {'randeurs sont //iroHi/ue/iif^m/j/M, leuri"ip|iorl est inconiniensnrahle wec /’h/i/V»?, c'est-à-dire qu’il ne peut »^lre (\priiné ni par un nombre entier ni par un nombre fractionnaire. Mais on peut l’obtenir avec telle approximation qu’on veut (9).
Il est nécessaire de délinir ce qu’on doit entendre par deux rapports incommcnsundtles éj^nux. Deux rappoits incommensurables sont éf'aux lorsqu’ils ont la même expression numérique pour le même degré d’approximation, et cela quel que soit le degré d’approximation choisi.
(1*2. Dans le même cercle on dans des cercles égaux, les anp,les au centre égaux correspondent à di s arcs égaux, et réciproquement [fig, 55).
On appelle angle au centre un angle dont le sommet se confond avec le centre de la circonférence considérée. Suppo- Fic rô. sons que l’angle AOB soit égal à
l’angle A'O'lV, le rayon AO étant égal au rayon A'O'. Les deux triangles AOB, A' O' B', seront égaux d’après le premier cas d’égalité. La corde AB étant alors égale à la corde A' B', l’arc \B.sera égal à l’arc A' B'.
Héciproqnemenl, si l’on suppose l'arc AB égal à l’arc A' B', la corde AH sera égale à la corde A' B', les deux triangles AOB, ■A'O'lV, seront égaux d’après le troisième cas d'égalité, et l'on en conclura l’égaillé des angles AOB, A'tl'B'.
()3. Le rapport de deux angles quelconques est égal à celai des arcs compris entre leurs côtés, et décrits de leurs sommets
comme centres avec un même rayon [Jig- 5(i).
Soient le>^ angles AOC et A'O'f,'. Décrivons de leurs sommets comme centres avec un même rayon les arcs'AO, V'C'. Suppofibns d’ajiord'r^p ces arcs aient une commune mesure contenue 5. fyby ]»ar exemple , dans l’arc AL et 3 fois dans l’arc. A'f.SkNbu.s aurons alors ( (il ) '
jVL 5 .V’ t;' ~ 3‘
Fif;. r»o.
vr / \
G^.OM^.TniF,.
Joignons aux conlrosOel O' tous los points de division des arcs AC, A'C'. Nous décomposerons l'angle AOC en 5 angles partiels tels que AOB, et l’angle A' O' C'en 3 angles partiels tels que A' O' B'. Tous ces angles partiels, correspondant à des ^cs égaux, seront égaux entre eux (62), et l’un d’eux pourra servir de commune mesure aux angles AOC, A'O'C'. On aura donc
AOC 5 A'O'C' ~ 3’
Par conséquent, le rapport des deux angles est bien égal à celui des deux arcs interceptés.
Supposons maintenant ((ue les deux arcs AC et A'C' n’aient pas de commune mesure. Divisons l’arc A'C' en un certain nombre m départies égales, désignons par a l’une de ces parties. Nous aurons A'C' = ma. Portons a sur AC autant de fois que possible ; supposons que AC contienne p fois a, plus un reste r, inférieur .à a et nécessairement incommensurable avec a. Nous aurons AC = pn-\- r. Il en résultera
AC pa-\- r P r
A' C' ma m ma
La fraction
rieure a — • m
- étant inférieure à i, la fraction — ^ est a ma
AC
Par suite, représente le rapport
infé-
avec
une approximation marquée •
Si l’on joint aux centres O et O' tous les points de division des arcs AC, A'C', on décomposera l’angle A'O'C' en m angles partiels égaux entre eux, nous désignerons l’un de ces angles par A, et l’angle AOC en p angles partiels égaux à A, plus un angle R inférieur à A. On pourra donc écrire
A'O' C' = m A et AOC = p\ -+■ R.
Il en résultera
AOt: /> A + R A'O'C' ~ m\ ’
c’est-à-dire
AOC p R A'O'C' ~ m /;/A'
La fraction étant inférieure à i , la fraction — r <?st inférieure . , A m A
