PI

proportionnelle demandée; car on aura

Al) “ AE N ~ AE

Soient M, N , P , les trois droites données. Je forme un anpic quelconque BAC. Sur le côté .AB, je prends .AB = \I et .VI) = X ; je prends, sur le coté AC, AC = P. Je joins BC et, par le point I), je mène DE parallèle à BC. .VE sera la quatrième

Si les lignes N et P étaient égales, .VE serait la troisième proportionnelle aux lignes M et N.

117. Construire la moyenne proportionnelle à deux lignes données [Jig. 1 15).

Soient les deux ligues données A et B. Je porte ces lignes, de C en D et de I) en E, sur une droite indéfinie. Sur CE comme diamètre, je décris une demi-circonférence. J’élève parle point 0, DF perpendiculaire au diamètre : DF est la mojenne proportionnelle demandée : on. a en effet

DF = CD. DE = A. B (lOi).

Fig. ii5.

Berna rquons que, si les lignes .A et B sont inégales, le rayon OF sera toujours plus grand que la perpendiculaire FD. On vérifie ainsi géométriquement que la moyenne proportionnelle à deux lignes inégales est plus petite que leur moyenne arithmétique.

Lorsque les lignes A et B sont trop grandes pour qu’il soit commode de les porter à la suite l’une de l’autre, on opère comme il suit. On prend sur une droite indéfinie [Jig. 1 16) CD = A , (lE = B. On décrit sur CD coinine diamètre une demicirconférence, et au point E on élève EF perpendiculaire au diamètre. La moyenne proportionnelle demandée sera la corde CF. On a en effet

CF’ = CD.CE = A.B (lOA).

Fig. lit).

On aiirail pu aussi, dans le cas considi'ré, décrire une demicirconférence sur ED comme diamètre ; ED représente la diflérence des deux lignes <lonnées. Si l’on mène, |iar le point C. une tangente ('C à celte ciKenfcrcnce. (itî représcntcia la

GI^OMÉTRIE.

inojeime pmporlionnclle cliercliée ; car on aura «micoit

c(î’ = (:d.c;e = a.b (iii).

On a évideininenl CO' = B ^ ^ ^ ^ ■ üc inèino ,

O'Iî = O'I) = — ^ — Le triangle CÜ'G est d'ailleurs rectangle

en G. 11 en résulte que la demi-somme de deux lignes, leur moyenne proportionnelle et leur demi-différence, peuvent être représentées par les trois côtés d'un triangle rectangle.

118. Construite deux droites connaissant leur somme et leur produit [fig. 117).

Soit BC la somme donnée, soit A la droite "7- dont le carré égale le produit donné. Sur BC comme diamètre, je décris une demi-circon-

II rérence. Au point B, j’élcve sur le diamètre

| /[ K B(' la perpendiculaire BD et Je la prends

{ \ J égale à A. Par le point 1) ainsi obtenu, je

® r* c mène la parallèle DEE' au diamètre BC.

(]ette parallèle coupe généralement la circonférence en deux points E ctE'; par ces points, j’abgisse sur le diamètre B(^ les perpendiculaires EF, E'F'. Les deux droites demandées seront BF et FC ou BF' et F'C : ces deux solutions n’en font qu’une seule, car on a évidemment BF' = FC et F'C = BF; on a bien d'ailleurs BF -t- FC = BC et BF.FC = EF’=A>.

Pour que la parallèle DEE' rencontre la circonférence, il faut que A ne surpasse pas le rayon de la circonférence Ou la

moitié de la somme BC ; A étant égale à la parallèle devient tangente à lu circonférence. Le produit de deux lignes dont la somme est constante est donc maximum lorsque ces deux lignes sont égales. Nous retrouvons ainsi par la géométrie un tbéorème déjà démontré au point de vue algébrique.

119. Construire deux droites, connaissant leur différence et leur produit [fig. 1 18).

Soit B<] la différence donnée, soit A la Fie- ii8.. droite dont le carré égale le produit donné.

Sur BC comme diamètre, je décris une circonférence. Au point B, j’élève sur le diamètre BC la perpendiculaire BI) et je la prends égale à A. Par le point D ainsi obtenu et le centre de la circonférence, je mène la sécante DEF. Les deux lignes demandées seront la sécante entière DF et sa partie ex-

"J% GÉOMÉTRIE

lérieurc DE. On a en cficl

DF — DE = EF = BG el DF.DE=DB* = A> (111).

Les deux problèmes que nous venons de résoudre, pcrincUent de construire les racines des équations du second degré.

120. Diviser une droite en moyenne et extrême raison, c'està-dire la partager de manière que le plus grand segment soit une moyenne proportionnelle à la ligne entière et au plus petit segment{fig.nç)).

Nous avons déjà traité cette question en algèbre ( À Ig. élém. 196) : nous allons la reprendre au point de vue de la construction géométrique à appliquer. Je représente par a la ligne donnée AB, par X le plus grand segment cherché BC : le plus petit segment AC sera alors a — æ-. On doit avoir

FiB- "<>

On en déduit

Considérons la première racine x’ = — ^ y/ ^ -4- aC Pour

construire le radical, on n’a qu’à élever en A une perpendiculaire .AE égale à la moitié de .\B, puisà joindre EB. On aura évidemment EB = y/ ^ -+- 11 faut retrancher de EB, ^

ED; BD = EB — ED représentera donc x', et l’on pourra porter cette longueur sur BA en décrivant, du point B comme centre avec BD pour rayon, l’arc de cercle DC.

La racine x" est égale, en valeur à - -t- i

Pour construire cette racine, il faut donc ajouter ^ ou EF

àEB; BF représentera donc numériquement x". Si du point B comme centre, avec BF pour rayon, on décrit un arc de cercle qui vienne couper le prolongement de AB à droite du point B, on obtiendra un nouveau point qui répondra à la question entendue d’unemanière plusgénéralc(voirr,/fy^à'Are).

AC est égale à o — x' ou à o ^ ~ ^ v + c’(!st-à-di

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GÉOMÉTRIE

Il Psl imponanl (le se rappeler que le plus grand segment d’une droite a divisée en moyenne et extrême raison a pour expression

fi( — I -t- v'5' • ' '

et que le plus petit segment de cett(^ droite est égal à

rt(3 —

l'2I . Construire sur une ligne donnée un triangle ou un polygone semblable à un triangle ou à un polygone donné [fig. i?.o).

Si l’on veut eonslniire sur la ligne A' B', homologue de AB, un triangle semblahle au triangle ABC, on fera l’angle B'A'C' <'gal à l’angle BAC (‘t l’angle A'B'C' égal à l’angle ABC. Le triangle A'B'C' et le triangle ABC seront semblables comme équiangles.

Si l’on veut construire sur la ligne A' B', homologue de AB, un polygone semblable au polygone AB(;i)E, on décomposera le polygone donné en triangles en menant du sommet A les diagonales AC, AI). On construira alors sur A' B' un triangle A'B'C' semblable au triangle .\B(]; puis, sur A'(7 homologue de AC, un triangle A'C'D' semblable au triangle Afil); enfin, sur A' D' homologue de Al), un triangle A' D' E' semblable au triangle AED. Les deux polygones ABtiDEct ,\'B'C'I)'E' seront semblables, comme composés d’un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés.

122. Construction d’une échelle {Jig. lai). Quand on a levé le plan d’un terrain, il faut le rapporter sur le papier. Le rapport d’une droite du plan à celle qui lui correspond sur le terrain, s’appelle échelle du plan. Si ce rapport est o,oi, le plan est construit à réchelle de o,oi ou au centième.

Par extension, on appelle échelle graphique une figure géométrique qui permet de trouver immédiatement les longueurs des lignes du terrain, réduites dans un certain rapport, et, réciproquement, de passer des lignes mesurées sur le plan aux lignes qu’elles représentent effectivement.

Soit à construire une échelle de jr-î — 5oon'' sont alors rc-

' 5noo .

présentes par i'* et loo'* par o'',o2

Fig. ISO.

GÉUMÉTniE.

Sur une druite iiuléUiiie AB, un prend une lungueur AF égale ào'‘,o?. el on la divise en lo parties égales. AF repré-

Fig. 121.

seiUanl loo”, chaque division représentera lo’* : on numérotera donc les points de division o, lo, 20 100. On porte

alors des longueurs égales .à AF à la suite du point F', el on indique ces nou\ elles divisions par les nombres 100, 200, 3oo, etc. y de manière à atteindre le plus grand nombre de centaines de mètres (|u’on puisse avoir à considérer. Par les points A, F, 100, 200, 3oo, etc., on élève des perpendiculaires à la droite AB. On porte sur l'une d’elles FE, dix fois une même longueur arbitraire, et par les points de division 1, 2, 3,.. 10, on mène des parallèles à AB. On prend sur (]E, à partir du point E, une longueur EG égale au dixième de .VF, on joint F'G, et par les points de division de AF on mène des parallèles à FG.

Les centaines de mètres sont alors représentées par les divisions de FB, \es dizaines de mètres par les divisions de AF, el les neuf premiers multiples du mètre par les portions de parallèles à AB comprises dans le triangle FGE, En effet, si l’on considère la cinquième parallèle el le segment L5 qui lui correspond, on aura