Cn polygone esl lorsqu’il a ions scs côtes égaux

el loussesangles égaux. Parmi les Iriangles el lcsquadrilau*res, le Iriangle équilaléral el le carré soni des polygones réguliiTS.

Un polygone esl inscrit dans un cercle lorsque tous ses somniels apparliennenl à la circonférence : on dil alors que le cercle esl circonscrit au polygone.

Un polygone esl circonscrit à un cercle lorsque scs cèles sont langenls à la circonférence : on dil alors que le cercle esl inscrit dans le polygone.

Tout Iriangle esl inscriptible el circonscriptible. La première proposition esl évidenle : on peul loujours faire passer une circonférence par trois points A, B, G, {Jig. 122), non en ligne droite. Quant à la seconde proposition, on voit [Jig- ia3) que si l'on mène les bissectrices des angles du triangle .ABC, elles se croiseroni nécessairement en un même poinl O; car le poinl de rencontre des deux bissectrices AO ei BO étant également éloigné des trois côtés du iriangle, appartient a la bissectrice du troisième angle. Le poinl 0 étant à égale distance des trois côtés du triangle, si du poinl 0 comme centre, avec, la perpendiculain* OU abaissée de ce point sur .AB pour rayon, on dé-

Diyi^ized bv CuOgle

Fig. n'|.

cril une circonféi cace, elle sera langenle aux irois cùlés du triangle ou insrrile dans le triangle.

124. Tout polygone régulier est inscriptible et circonscriptible [Jig. \i^).

Soit, par exemple, l’hexagone régulier ABCDEF. Je détermine le centre O du cercle qui passe par les trois sommets B, C : je dis qu’il passera aussi par le sommet suivant D. J’abaisse du point Ü sur BC la perpendiculaire OG ; le point G sera le milieu de BC. Comparons les deux quadrilatères OABG, ODCG : je les superpose, en pliant la figure suivant l’axe OG. Les angles en G étant droits, GB prend la direction de GC et le point B tombe en C, puisqu’on a GB = GC. Les angles en B et en C étant égaux, puisque le polygone est régulier, le coté B.\ prend la direction du côté Cü, et le point A se confond avec le point D, puisqu’on a B.V = CD. Le point O est resté fixe ; les deux droites ()A et OD ayant mêmes extrémités coïncident et sont égales. La circonférence décrite du point O comme centre avec OA pour rayon passera donc par le sommet D; on prouvera de la même manière qu’elle doit passer par tous les autres sommets du polygone : ce polygone est donc inscriptible.

Il est circonscriptible; car les côtés AB, BC, CD, etc., étant des cordes égales de la circonférence O, sont également éloignés du point O. Par conséquent, si du point O comme centre, avec la perpendiculaire OG pour rayon, on décrit une circonférence, elle sera tangente à tous les côtés du polygone donné en leurs milieux.

Le point O, centre commun du cercle circonscrit et du cercle inscrit, est lé centre du polygone régulier. Le rayon du cercle circonscrit est le rayon du polygone; le rayon du cercle inscrit en est Vapothème. L’angle de deux rayons consécutifs O.A, OB, est Ynn^le au centre du polygone. Tous les angles au centre sont égaux, puisqu’ils interceptent des arcs égaux. Le nombre des côtés du polygone étant n et la somme des angles formés autour du point O étant égale à quatre angles droits, la valeur de l’angle au centre d’un polygone régulier sera exprimée d’une manière générale par

On peut remarquer que les angles d’un polygone régulier étant tous égaux, l’un quelconque d’entre eux a pour expression

- (39) ou 2 — -• /.'angle d'un polygone régulier et son

angle nu centre sont donc supplémentaires ; leurs moitiés sont

Tic

Mons.

gone;

CitOMÈTRIK. 77

dès lors cotnidèineiUairos ; on en runclnl, en considéranl le triangle reciangli' UOU, dans le<in^l OU est la bissectrice de l’angle an centre AOll, (jne BO, à son tour, est la bissectrice de l’angle ABlidu polygone. Ainsi, tout rnyon ilmse en deux jHirlies égales l’angle au sommet duquel il aboutit.

12a. Si l'on partage une circonférence en un nombre quelconque d’arcs égau.r, les cordes de ces arcs formeront un polygone régulier inscrit ; les tangentes menées par les points de division formeront un polygone régulier circonscrit (Jig. i?.5).

Supposons qu’on partage la circonférence en II parties égales et (|u’on joigne les points de division. Considérons un angle quelconque ABC du polygone formé : les côtés de cet angle interceptant deux divisions, il aura pour mesure la moitié de n — ?. divi- 11 en sera de même de tous les autres angles du polyses angles sont donc égaux. Ooant scs côtés, ils sont égaux comme cordes sous-tendant des arcs égaux. On obtient, par conséquent, un polygone régulier.

Supposons (lu'on mène des tangentes à la circonférence par tous les points de division obtenus, ces tangentes formeront un polygone circonscrit. Je dis que ce polygone est régulier. En effet, si l’on considère les triangles A(ÎB, BllC, etc., on voit que ces triangles sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun : ces triangles sont isocèles, deux Uangentes issues d’un même point étant égales, et l’angle üBA est égal à l’angle IIBC, ces deux angles ayant «les mesures égales par hypothèse ; d ailleurs AB = Bl.. Les angles d. II, etc., sont donc tous égaux. (111, qui est le double de BU, est égal à HK, qui est le double de IIC. Les côtés du polygone circonscrit sont donc tous égaux. Ce polvgone est, par suite, régulier.

Étant donné un polygone régulier inscrit, si l’on prolonge ses apothèmes jusqu’à la rencontre de la ciiconférence et que, par les points ainsi déterminés, on mène des tangentes, elles formeront un polygone régulier circonscrit [^fig. 126).

En effet, le point I) étant le milieu de l’arc AB et le point E le milieu de l’arc BC (53), l’arc DE sera égal à l’arc AB. Il s’ensuit «juc les nouveaux points de division 1), E, F, etc., partageront la circonférence dans le même nombre de jiartics égales que les points A , B. C, «-te. Le polygone régulier circon-

GÉÜMÉTKIE.

scrit ainsi obu-nu a ses cotés parallèles à ceux du polvgone régulier inscrit, et ]es raVuns du polygone inscrit prolongés sont les rayons du polygone circonscrit ; car les triangles rectangles Mül>, MOE, étant égaux, MO est la bissectrice de l’angle DOE et doit se confondre avec BO, bissectrice du même angle.

Reportons-nous à la fig. lab. Si l’on joint le point D aux points A et B, le point E aux points B et C, etc, on formera évidemment un polygone régulier inscrit de are côtés, si le nombre de côtés du polygone ABC... est n. Le périmètre du nouveau polygone sera plus grand que celui du polygone ABC..., puisqu’on aura BE-f-EC>BC.

De même, si l’on mène des tangentes à la circonférence par les points B, C, etc., et qu’on les arrête aux tangentes qui forment le polygone circonscrit LMN..., on obtiendra un polygone régulier circonscrit de on côtés. Le périmètre de ce nouveau polygone sera plus petit que celui du polygone LMN..., puis- (]u’on aura RS <; RM -t- MS.

/iinsi, à mesure qu on double successieemenl le nombre des côtés d’un polygone régulier inscrit dans une circonférence, le périmètre de ce polygone augmente en restant inférieur nu contour de la circonférence. A mesure qu’on double successivement le nombre des côtés d’un polygone régulier circonscrit à une circonférence, le périmètre de ce polygone diminue en restant supérieur au contour de la circonférence.

Remarquons que le triangle rectangle ROI donne