Mesure de lu surfuce d'un polygone quelconque

Pour évaluer l’aire d’un polvgone (|in*lronquc, on penl le décomposer en triangles, soit en menant tonies les diagonales (^ui aboutissent à un même sommet, soit en choisissant un point dans son intérieur et en le joignant à tous ses sommeLs. On calcule alors l’aire de chatjue triangle formé, on fait la somme des résuluus obtenus, et on a la mesure demandée.

Lorsque le polygone est tracé sur le terrain, on suit ordinairement une antre méthode [Jig. '3(>).

On mène la pins grande diagonale AF du polygone proposé, et l’on abaisse, des sommets extérieurs sur celle diagonale, FiR. i3g les perpendiculaires BN, CI’, I)(J,

g P EH, ll(), G(J. Ces perpendiculaires

parlagenl la ligure en triangles et trapèzes rectangles. En mesurant les différents segments déterminés sur AF et les perpendiculaires abaissées " *• sur cette droite , on a tous les élé-

ments nécessaires pour calculer les aires des différentes parties du ptdygone et, par suite, l’aire de ce polygone lui-même.

Lors(|ue le pcdtgone jtroposé est tracé sur le papier, on peut le transformer en un triangle équivalent dont on cherche ensuite la surface {Jig. i4o).

Soit le pentagone ABtlDE. Je mène la diagonale PB. Par le sommet C, compris entre les sommets P et B, je mène une

KIr. i^o.

parallèle à PB, et je prolonge cette parallèle CL jusqu’à la rencontre du côté AB prolongé. En joignant PL, je remplace le sommet C par le sommet L situé sur AB, c’est-à-dire je remplace le pentagone ABCPE parle quadrilatère ALPE. En efl’el , ces deux ligures ont une partie commune ABPE; elles ne diffèrent que par les deux triangles PCB, PLB. Ces deux triangles sont équivalents, cômme ayant même base PB et leurs sommets Cet L situés sur une même parallèle à celle base commune, de sorte qu’ils ont même hauteur. Par conséquent, la conslruclioi> indiquée a bien transformé le polygone proposé en un polygone équivalent, mais ayant un côté de moins. En opérant de même sur le quadrilatère ALPE, on le

FÎR, |/|I.

transformera en un triangle équivalent LPK, qui pourra alors être mesuré à la place du polygone ABCPE.

La construction resterait identique, lors même qtte le polygone considéré ne serait pas convexe. Seulement, dans le cas de la fig. i4i, on obtient le pentagone donné

Digi;;. J by Googic

CÉOMÉTHIE. C)t)

ABCDEollequadi'ilaloiv AB<;F, en relmnvhanl surressivcmenl de la figure loUile ABCE les iriangles é(iuivaleiUs EDC, EFC.

Ü2. Constmir/’ un carré équnaicnl à un polyf^one donné. Construire un carré équivaloni à une figure donnée, r'esi opérer la 'quadrature de cette figure.

Supposons d'abord qu’on veuille construire un carré équivalent à un triangle donné. Désignons par X le côté de ce carré, par B la base et par H la hauteur du triangle proposé. Il fiiudra qu’on ait

Le côté du carré cherché s’obtiendra donc en chcrcham la moyenne proportionnelle à la moitié de la base du triangle et à sa hauteur.

Si l'on veut opérer la quadrature d'un parallélogramme ou d’un trapèze et, en général, d’une figure dont la surface soit mesurée par le produit de deux lignes données, il faudra chefcher la moyenne proportionnelle à ces deux lignes : cette moyenne sera le côté du carré équivalent.

S’il s’agit d’un polygone quelconque, on le transformera d’abord en un triangle équivalent; puis on fera la quadrature de ce triangle.

Fig.

143. L'aire dun polygone régulier est égale à la moitié du produit de son périmètre par son apothème [ftg. i4^)-

Soit O le centre du polygone régulier ABCDEF, joignons-le à tous les sommets du polygone; nous le partagerons ainsi en autant de triangles qu’il a de côtés, et tous ces triangles seront égaux entre eux. Considérons en particulier le triangle AOB; si ,\B est sa base, l’apothème 0(î du polygone sera sa hauteur, et la mesure de la surface

du triangle sera égalé a • Si le po-

lygone proposé a n côtés, il faudra multiplier la mesure précédente par n pour avoir faire du polygone : celle

, . H AB X 0(î P X rt ...

aire aura donc pour expression ^ ou — ^ — » en dési-

gnant par P le périmètre du polygone et par a son apothème.

144. L’aire d'un cercle est égale à la moitié du produit de sa circonférence par son rayon.

Si l'on considère la circonférence comme le périmètre d’un polygone régulier d’un nombre infini de côtés infiniment petits (131), on peut appliquer immédiatement à la mesure du cercle la formule précédente (143).

lOO

CéOMÉTHIE.

On peut aussi remarquer que la rirronférenre élaiU la limilc (les périmètres des polygones réguliers qui y sont inscrits, en supposant qu’on double indéfiniment le nombre de leurs côtés (132), le cercle est en même temps la limite des aires de ces polygones. De plus, le rayon de la circonférence est la limite des apothèmes de ces mêmes polygones (125), puisque la longueur de leur côté tend vers zéro. Soient S, 1’, a, faire, le périmètre et l’apothème de l’un quelconque des polygones considérés : on aura constamment entre ces variables la relation

P Xrt

Donc elle aura aussi lieu entre les limites des deux membres de l’égalité posée (132). On aura, par conséquent, en désignant par R le rayon du cercle.

cercle H =

cire R X R

Nous avons trouvé (133)

cire R = 2 ît R :

il viendra, en substituant,

cercle R = ir R’.

Pour calculer l'aire d'un cercle, il faut multiplier le carré Je son rayon par le nombre constant w.

14-5. L'aire d'un secteur est égale A la moitié du produit de l'arc qui lui sert de base par le rayon du cercle dont le secteur fait partie [f g. i^^).

Lin secteur est la portion de cercle comprise entre deux rayons; l’arc qui correspond aux extrémités de ces rayons est la t base du secteur.

En suivant une marche identique .à celle indiquée pour les angles au centre (63), on jirouve que deux secteurs quelconques sont entre eux comme les arcs qui leur servent de bases.

On peut donc écrire, en considérant le secteur AOR et . le cercle, AO tout entier.

secteur AOR are AB

cercle AO cire AO

Il en résulte

secteur AOB =

arc AB X cercle AO

arc AB X AO

cire AO

GÉOMÉTHie. lOI

Si I on veut introduire le nombre de degrés n de l’arc AB, on se rappellera la l'ormulc

arc = (133).

Il viendra alors

secteur AOB =

en remplaçant AO par R.

Cette expression est facile à retenir : '7^ représente le

obo

sec-leur d'un degré, celui qui a pour base l’arc do 1", re-

préseniera donc le secteur de h".

Nous savons déjà ce (|uc c’est qu’un segment (65). Cberebons l’aire du segnvent AFB {fig. i43). Il est la différence du secteur correspondant AOB et du triangle isocèle AOB.

Si l’arc AB correspond au côté d’un polygone régulier et si l’on sait calculer le côté et l’apothème de ce polygone, on aura immédiatement

. 4/xD 3rc AB X AO ,

sect . AOB = > ’

ir.AOB:

Par suite, on pourra écrire segment AFB =