r — 4 "= — 'in J

La quatrième équation 3 .t4-4m = p 6, jointe à celle qu’on vient d’écrire, permet d’obtenir x et it. On déduit de la première X = U — 3 . La quatrième, par la substitution de la valeur n — 3 à la place de x, devient

3 II — c) 4-4» = 26 ,

d’où

7 // = 35 et r/ = — = 5 ,

par suite,

x = ti — 3 = 2 et y =0.11 — 7 = 3.

L’équation réservée

donne enfin

Les racines sont donc

139 . 11 faut remarquer que les deux méthodes générales que nous avons indiquées peuvent être appliquées simultanément si l’on y trouve avantage. On peut éliminer l’une des inconnues par substitution, une autre par voie d’addition ou de

algLuiie élémentaire.

aj )2

soii.slraclion, revenir pour une iroisiènie à lu méthode par.substimiion, etc.

140. 1.,’emploi d’une inconnue auxiliaire ou d’un théorème particulier de calcul peut dans certains cas rendre la résolution heaucoup plus rapide. Mais cet emploi suppose toujours une certaine symétrie dans la manière dont les inconnues entrent dans les diverses é(|uations. Cette symétrie môme suggère la marche à suivre.

Soit le sytème

Æ- 4- )■ -t- 3 = rt. .

()n*connalt donc les sommes partielles formées par trois quelconques des quatre inconnues. Si l’on connaissait la somme de ces quatre inconnues, .en retranchant de cette somme totale les différentes sommes partielles, on obtiendrait successivement les racines. La somme des quatre inconnues est donc ici une inconnue auxiliaire qu’il faut d’abord déterminer. Pour cela, j’ajouterai membre à membre les quatre équations données. Il viendra

d’où

JT -f- >' “h *ï -f-

On en déduit immédiatement

— Cl 4“ b 4“ e 4“ ,

rt4-è-(-c4-</ a -i- b -h d — te

^ a b -h c + d ^ «4-C4- d — tb

Suit encore le système

Ix + my + HZ = p.

Je |iuLs multiplier respectivement par /, /», n, les deux ter-

Al.UÈBRE Él.ÉME.MAIRl:.

ay3

mes de chacun des rannorls-i t» -• On a alui'S ' ah c

l.r my nz

la mb ne

La somme des numérateurs de ces rapports divisée par la somme de leurs dénominateurs formera un rapport égal à cliacun d’eux, puisqu’ils sont égaux. On aura donc

Ix niy nz Ix -y- my ■+■ nz

ta mb ne la ■+■ mb + ne

Mais le numérateur lx-hmy+ nz est égal à p d’après la dernière équation du système. On pourra donc écrire successivement

la H- mb -f- ne

la 4- mb -f- ne

la 4 - mb 4 - ne

141. Les conditions de symétrie permettent, dans certains cas, de déduire de la valeur trouvée pour une seule inconnue les valeurs de toutes les autres.

Soient les équations"

b e - 4- - = rt.

Pour éviter les équations du second degré qu’on trouverait en chassant les dénominateurs, je prends comme inconnues

î" deux premières équations membre à

membre; Je retranche l’équation résultante et la troisième équation donnée membre à membre. J'obtiens ainsi

d’oii

2rt ,

Supposons maintenant qu’on considère les trois lettres a, b, c, ou lès trois lettres x, y, z, Plaçons-les sur une circonférence

Ug4 Al-GÉBUE ÉLÉ.MEM'AIHE.

et aux suininels d’un triangle équilatéral inscrit. Si la circonférence tourne autour de son centre, dans le sens indiqué, d’un tiers de quatre angles droits, la lettre a ])rendra la place de la lettre b, la lettre h la place de la lettre c, la lettre c la place de la lettre a. De nièine x, y, z, seront remplacées par z, x, y. On dit alors que les trois lettres a, b, c, ou les trois lettres x, y, z, ont éprouvé une permutation circulaire.

Remarquons que si, dans les équations données, on fait subir à la fois aux trois inconnues x, y, z, et aux trois lettres a, b, c, une permutation circulaire, la première équation se transforme en la seconde, la seconde en la troisième, la troisième en la première. Le système proposé reste donc le même, et il est toujours satisfait par les Ynêmes valeurs. Mais il est évident qu’en faisant subir les mêmes changements aux formules qui donnent x,y% z, on aura les valeurs qui satisfont au système transformé, c’est-à-dire au système donné, puisque ces deux systèmes sont identiques. On passera donc immédiatement de la valeur trouvée pour à la valeur de z, en remplaçant X par z, et en permutant circulairement les trois lettres a, b, c; pnis, de la valeur de ü à la valeur de/, en remplaçant z par/, et en faisant éprouver une nouvelle permutation circulaire aux trois lettres a, b, c. La permutation circulaire des lettres x, y, z, existe d’une formule à l'ïiutre; la permutation circulaire des lettres a, b, c, a lieu dans chaque formule. On obtient ainsi immédiatement

"'“■ft-t-rt — c'

Problèmes conduisant à plusieurs équations du premier degré, en nombre égal à celui des inconnues.

142. On a deux lingots d’argent, l’un au titre de 0 , 820 , Vautre au titre de o,c)5o ; former à l'aide de ces deux lingots un alliage pesant 1 15 grammes et au titre rfeo, 8 'jo. (Arithmétique, 272.)

Désignons par x et / les nombres.de grammes qu’il faut emprunter aux deux lingots pour avoir l’alliage voulu. On aura immédiatement

Exprimons’ que la quantité d’argent contenue dans l’alliage est égale à la somme des quantités d’argent contenues dartS les

ALGÈRRK ÉLÉME»TA1HE. 2y5

pal lies mélangées : on ôbliendra comme seconde é([uation x.o,8ao+ )'.o,95o= 1 15.0,870.

On dédiiii de la première équation