RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A UNE INCONNUE
Transformation des expressions irrationnelles dn second degré.
177. Nous rappellerons plusieurs règles connues, en les appliquant aux radicaux du second degré.
1°. On élève un monôme au carré en élevant son coefficient au carré et en doublant les exposants des lettres qui y entrent; orf extrait la racine carrée d’un monôme en extrayant la racine carrée de son coefficient et en divisant par 2 les exposants des lettres qui y entrent.
2°. On élève au carré un produit de plusieurs facteurs, en élevant chacun d’eux au carré; on extrait la racine carrée d’un produit de plusieurs facteurs, en extrayant la racine carrée de chacun d’eux.
3“. On fait entrer un facteur sous un radical carré en élqvant ce facteur au carré; on fait sortir un facteur d’un radical carré, en extrayant la racine carrée de ce facteur.
4“. On élève une fraction au carré, en élevant ses deux termes au carré; on en extrait la racine carrée, en extrayant la racine carrée de ses deux termes.
5°. On élève un radical carré à une puissance, en élevant à cette puissance la quantité qu’il recouvre.
6®. On extrait la racine d’un radical carré, en multipliant son indice par celui de la racine à extraire.
7”. On élève un binôme au carré, en formant le carré du premier terme, le double produit du premier terme par le second, le carré du second terme. Il en résulte qu’on peut trouver les deux termes d’un binôme, lorsqu’on connaît les deux premiers termes de son carré. On obtient le premier terme du binôme, en extrayant la raciné carrée du premier terme de son carré; on obtient son second terme en divisant le second terme de son carré par le double-de la racine carrée du premier terme de ce carré. '
33a algèbre élémentaire.
Ainsi, les deux premiers termes du carré d’un binôme étant x^-\-px, le premier terme du binôme sera y^ou ib, le second
terme sera - — ou -•
8". Le produit de la somme de deux quantités par leur différence est égal à la différence des carrés de ces quantités, ün a
9". La racine carrée d’une quantité positive est susceptible d’un double signe. On a ^ = ± a, parce que -f-a ou — a élevé au carré reproduit 4-
io“. La racine carrée d’une quantité négative n’est susceptible d’aucune expression positive ou négative ; c’est une quantité imaginaire. ^ — 4 ^^t une quantité imaginaire. On peut
l’écrire y^4x — ■•S* l’on convient alors d’appliquer aux expressions de cette forme les mêmes règles de calcul qu’aux radicaux carrés recouvrant des quantités positives, on pourra extraire séparément la racine de chaque facteur et poser
On voit qu’on peut ainsi toujours réduire le signe d’imaginarité
au symbole ^ — i. On représente généralement ce symbole par la lettre i. On a donc
yCZ4 = 2I.
178. Lorsqu’il s’agit d’expressions fractionnaires irrationnelles, on les transforme ordinairement de manière que leur dénominateur soit rationnel [Àrith., 208, 219).
Soit l’expression ■ . On multipliera haut et bas par y/ô:
, m yb
il viendra
mb
Soit l’expression — — — • On multipliera haut et bas par
m^-h pye
m</b — . Il viendra
ft(m </b — p^e) G (m \/b — p y'c)
{m \{b -i- P \/c) [m\fb — p^)“
Soit enfin l’expression
sfïi+^b — \jc
On multipliera haut cl
Oigitized
ALGKBRE ÉLÉMENTAIRE.
.bas par Il viendra
K{\[ 7 t+ sfh + \jc) A(V« + y/7>+V^)
{\fâ-i-\b—/c)i\/a-h\/b + ^c), {t^/n+<^hy—c
c’est-à-dire
rt -4- 2 \foB h — c
On multipliera encore les deux termes de l’expression obte- . nue par rt 4 - 6 — c — 2 y^a6 : on trouvera
A(v/â+V^ 4 -V^) {a -h b — c — 2 \/ab)
{a + b — c-\- 7 .\fâb) {a + b — c — 2 ^abŸ
A ( \/â -I- -t- V^) ( rt -t- 6 — c — 2\/ab)
(rt-t-6 — c)’ — ^ab
La marche que nous venons d’indiquer est évidemment générale.
Formules générales de résolntion des équations du second degré ^ à une inconnue.
179 . Une équation du second degré à une inconnue peut contenir des termes en des termes en x, des termes indépendants de 2: ; si l’on réunit dans le premier membre de l’équation tous les termes, la forme la plus générale d’une équation du second degré à une inconnue sera
1' {ix^ + bx -h c = 0.
a, b, c, sont des quantités positives ou négatives, littérales ou numériques, monômes ou polynômes. >
Considérons d’abord le cas où l’on a 6 = 0. Il reste
ax^ H- c = O ,
d’où
Puisque l’inconnue ar élevée au carré doit reproduire — -»
X représente la racine carrée de — on a donc ( 177 , 9")
Les deux solutions obtenues sont les racines de l’équation
ax^ -4- c = O ;
334 , ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
on voit maintenant pourquoi on a employé cette expression pour désigner les solutions des équations de tous les degrés.
180. Passons à l’équation générale, et ramenons sa résolution à celle de l’équation précédente. On peut diviser les deux membres de l’équation
ax' -i- bx-h c — O
par le coefficient a dq, premier terme : il vient
Posons - = p, - = g. L’équation prend la forme a a
x^ -h px q = O.
Faisons passer le terme indépendant dans le second membre, nous aurons
x^ -I- px = — q.
On peut toujours considérer les deux termes x' -i- px comme les deux premiers termes du carré d’un binôme facile à former (177, 7”). Ce binôme est égal à ^ Complétons dans le premier membre le carré de ce binôme en ajoutant aux deux membres de l’équation la quantité 11 viendra
L’équation est ainsi ramenée à la forme précédemment examinée (179). (x-\--\ élevée au carré doit reproduire la
quantité y — q; on a
donc
d’où
Lorsque l’éqjiation du second degré à une inconnue est consi' dérée sous la forme
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 335
la règle à suivre pour obtenir les racines de l’équation est donc celle-ci :
L’expression de x est égale à la moitié du coefficient du second terme de l'équation pris en signe contraire, plus on moins la racine carrée du carré de cette moitié diminué du . terme indépendant pris avec son signe.
Si l’on applique cette règle à l'équation
on obtient immédiatement (
désignons par æ:' et a;" les deux racines; nous aurons en les séparant
x'=i et x" = — 5.
181. Si l’on veut trouver une formule générale qui réponde à la forme
ax' bx -i- c = o.
il suffit de remplacer p par ~ et 7 par - dans la formule pr<'cédente. Il vient
c’est-à-dire
2fl
— ^ac
b , — ^ac
ou X
— b± \/b^ — ^ac
2 a xa 2 «
Par conséquent, lorsque l’équation est sous la forme ax' -{-bx ->r c = o.
la valeur de x est égale au coefficient du second terme de l’équation pris en signe contraire, plus ou moins la racine cai'rée du carré de ce même coefficient diminué du quadruple produit du terme indépendant par le coefficient du premier terme, le tout divisé par le double de ce coefficient.
Si l’on applique cette règle à l’équation
xx^-{- X — 6=0,
on obtient immédiatement
— >±Vm-4« — >±7
Désignons par j:' et x* les deux racines; nous aurons en les
séparant
ALGÈBIlE ÉLÉMENTAIRE.
