Lorsque, dans l’équation
fljr’ ->rbx-{-c=zo.
le coefficient b est divisible par 2, la formule précédente" est susceptible d’une petite simplification. Posons b = zb', la formule deviendra
— ib' ± b'' — Lac
ia
On pourra diviser alors par 2 les deux termes de celle expression ; pour diviser le radical par 2, il faudra diviser par 4 la quantité placée sous ce signe. On aura
— 6' ± slb ’' — «ë
Si l’on applique celte formule à l’équalion ' 4^’ — — 21=0,
on obtient immédiatement
Désignons par x' et x" les deux racines; nous aurons en les séparant
183 . On peut résoudre directement l’équation ojc’ bx -h 0 = 0.
Faisons passer le terme indépendant dans le second membre, nous aurons
ax^-\-bx = — c.
Les deux termes or’ 4- bx peuvent être considérés comme les
deux premiers termes du carré du binôme x\a-\ p. Com-
2 Vrt
piétons dans le premier membre le carré de ce binôme en
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
x\fâ-
ajoutant aux deux membres de l’équalion la quantité -7-:
il viendra
ax' + bx-\-j—=z-f c,
d'où
b’’ — ^ac
On en déduit
b — ^nc
n.\fâ
c’est-à-dire
f- — bdz^b’’ — Aac • — b ± ^b' — 4 ac
x\/a = ^—= — - — et x = 3 — ,
comme nous l’avons déjà trouvé.
On doit supposer, en effectuant ce calcul, que le coefficient a est positif; ce qui est toujours permis, puisqu’on le rendra tel, s’il est négatif, en changeant les signes de tous les termes de l’équation.
Remarques sur la nature des racines des équations du second
degré.
18^. Considérons la formule
qui correspond à la forme
x' + px-i-q = o.
Si l’on a ^ 5 > o, les deux racines
seront évidemment rdeZ/cie/ inégales. (Les quantités positives et négatives constituent les quantités algébriques réelles par opposition aux quantités imaginaires.) Dans cc/as, le premier membre de l’équation équivaut à la différence de deux carrés.
En effet, si ^ q est plus grand que zéro, on peut poser
quantité positive quel que soit K, pourvu qu’il soit réel. On dé- I. aa
338 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
duit de cette relation
et l’équation proposée devient
a:* 4- px
c’est-à-dire
On peut récrire alors sous la forme
Pour qu’un produit soit nul, il suffit que l’un de ses facteurs soit nul, les autres ayant des valeurs finies. On est ainsi conduit aux relations
ce qui ramène aux racines déjà trouvées.
185. Sil’ona^ — ? = o, les deux racines x' et x" se réduisent à x = — ^: elles deviennent égales. On continue de dire
cependant que l’équation admet deux racines. Dans ce cas, le premier membre de l’équation est un carré parfait, puisqu’on
obtient, en remplaçant q par sa valeur ^ »
x^ -\-px = o ou =o.
On peut écrire alors l’équation sous la forme
et les deux facteurs égalés à zéro donnent tous deux
186. Si l’on a ^ les deux racines a;'et x" sont imaginaires, puisque la quantité placée sous le radical est négative. Le premier membre de l’équation équivaut alors à la somme
de deux carrés. En effet, si Ç — q est plus petit que zéro, on
peut posée
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
quantité essentiellement négative quel que soit K, pourvu qu’il soit réel. On déduit de cette relation g = ^ -4- K’, et 1' tion devient *
1 equa-
{^ + ^)Vk' = o.
La somme de ces deux carrés sera toujours positive, quelle que soit la valeur réelle attribuée à x. On voit pourquoi l’Algèbre conduit dans ce cas aux symboles imaginaires.
Si dans la formule générale
on remplace^ — q par — K’, on obtient
c’est-à-dire
x = — (177, lo»).
On voit que les quantités imaginaires du second degré sont de la forme x = a±biy aexb étant des quantités réelles quelconques. On soumet ces expressions aux mêmes règles de calcul que les expressions réelles, en convenant seulement de remplacer dans les résultats obtenus i' par — i : c’est étendre à — I la définition ordinaire de la racine carrée d’un nombre.
187. Si l’on avait considéré la formule plus générale — b± \Jb' — ^nc '
on aurait été conduit à des conclusions identiques à celles que nous venons d’indiquer, en considérant successivement les conditions
fc’ — ^ac~^o, 6’ — ^ac — o, b‘‘ — ^ac<C.o.
En résumé, l’équation du second degré à une inconnue a toujours deiix racines. Ces racines peuvent être : i® réelles et inégales; 2 “ réelles et égales; 3® imaginaires.
▲LGEBEE ÉLÉMEX9TAIEE.
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* Exemples.
