La résolution des équations bi-carrées nous a conduit
à des expressions de la forme VA± v'B. On peut, dans certains cas, transformer ces expressions en une somme o(T une différence de deux radicaux simples du second degré; et celte transformation, outre son importance au point de vue théorique, facilite la réduction des formules en nombres. Nous supposons que A et B sont des quantités rationnelles, et, de plus, que B est positif.
Posons donc à la fois
Va V^ = V-^ “H V^»
Va — v'B = V^ — Vj-
Nous aurons ainsi deux équations pour déterminer les quantités X et y. Si nous ajoutons ces équations et si nous les retranchons successivement membre à membre, nous aurons
2 v'a: = V A -I- VB -t- Va — Vb>
2 Vÿ" — A -|- v^B — Va — VB.
En élevant au carré les deux membres des équations obtenues, il viendra
^x = 2kd-2^k'‘ — B et 4 / = *A — 2 VA’ B.
On en déduit
A -f- y/ A’ — B A — VA’ — B
La transformation n’a d’utilité pratique que si x el 7^ sont des quantités rationnelles. Il faut pour cela que la quantité A’ — B soit un carré parfait.
Si nous désignons ce carré par C% on aura
Par suite.
et
Comme est supposée dans ces deux formules une quantité positive, on doit regarder les radicaux du second membre comme affectés du même signe dan* la première formule, et comme affectés de signes différents dans la seconde formule. En effet, il faut qu’en élevant les relations trouvées au carré, on reproduise dans le second membre de la première relation et, dans le second membre de la seconde, — v^B. Soit réquation
Elle flonne
On a ici Par suite On a donc
A = 4 et B = ■; .
C’ = 9, c’est-à-dire C = 3.
La transformation précédente est possible, et l’on a
207. Il est à remarquer que l’équation v'A -h v'B = y/i -h sly
aurait suffi pour déterminer les deux inconnues et j, à cause d’une circonstance particulière sur laquelle il est utile d’insister.
Élevons au carré les deux membres de cette équation; nous
aurons
A -I- y/fi = a; -i- J -I - 2 y/arj.
d’où
V'B = (a:-|-.r — A)-t-2 '^xy.
Si l’on élève de nouveau au carré, il viendra
B = (a;-t-^ — A)’ -1-4 -yy — A ) -f- 4
Le premier membre est rationnel, il faut que le second membre le soit. Le terme de ce second membre, qui contient le facteur irrationnel \/xÿ-, doit donc disparaître ;^ce qui exige qu’on ait
11 reste alors
B = 4a^.K Oti y/B = 2 y/a-r.
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
On voit, par suite, que l’équation
composée en partie de termes rationnels et en partie de termes irrationnels, se partage nécessairement en deux autres équations formées en égalant d’une part les quantités rationnelles et, de l’autre, les quantités irrationnelles des deux membres. C’est là une règle générale.
Ayant les équations
x-t-y = A et v^B=: 2 y^xy,
c’est-à-dire
æ--+- 7" = A et B =
en convenant que les deux membres de l’équation \/B = 2 sont affectés du même signe, on voit qu’on connaît la somme A
des inconnues et leur produit Ces inconnues seront donc
les racines de l’équation du second degré (190)
qui donne
et qui conduit aux mêmes résultats que précédemment.
208. Lorsque la quantité A’ — B n’est pas un carré parfait, la transformation indiquée est encore possible, en ce sens que les deux expressions comparées sont toujours équivalentes; mais elle n’a plus d’utilité puisqu’elle remplace l’expression proposée par une expression plus compliquée.
Cependant nous considérerons le cas où y^B représente une quantité imaginaire. Ort peut alors poser B = — K% de sorte qu’on a v^B= — i ; et l’expression considérée prend la forme V A ± K \/— r .
Nous allons prouver que la racine carrée de l’expression imaginaire A±K/ est une expression imaginaire de même forme (203, 5°).
On peut reproduire les calculs précédents, et partout B devra être remplacé par — K’, de sorte qu’on arrivera à .
x= et r= '
La valeur de x est positive, celle de r est négative; on peut
368 ALCÈBRE ÉLÉMENTAniE.
poser x= à} ei r = — On a alors y/À± Kj = a±bi.
On pourrait arriver à cette conclusion en posant directement )/X -H K t = fl 4 - bi, et en cherchant les valeurs réelles de a et de b qui satisfont à cette égalité. On remarquerait, après avoir élevé au carré, que l’équation ayant lieu entre quantités réelles et quantités imaginaires, se partage immédiatement en deux autres équations obtenues en égalant les quantités réelles du premier membre aux quantités réelles du second, les quantités imaginaires du premier membre aux quantités imaginaires du second.
Systèmes d’équations à plusieurs inconnues, renfermant an moins une équation de degré supérieur au premier.
209. Considérons d’abord le système général formé d’une équation du premier degré à deux inconnues et d’une équation complète du second degré à deux inconnues. Ce système aura évidemment la forme
ax-{- by — c = O ,
' A 4- B xjr 4- C y^ 4- D a; 4- 4 - F = o.
