FORMULE DU BINOME

228. Le développemenl d’une puissance quelconque, enlière et positive, d’un binôme ar a, est l’une des formules les plus importantes et les plus usuelles de l’analyse. Pour l'établir, nous nous occuperons d’abord de la théorie élémentaire des combinaisons dont la connaissance nous sera nécessaire.

Théorie des combinaisons.

229. Étant donnés m objets, oi> appelle arrangemenls n à n de ces m objets, les différents groupes qu’on peut former en assemblant n de ces m objets de toutes les manières possibles : deux arrangements quelconques doivent différer au moins par la place d’une lettre.

Si, parmi les arrangements obtenus, on ne compte que ceux qui diffèrent au moins par l’un des objets qui les composent, on a les combinaisons n à n des ni objets considérés.

230. Nombre des arrangements. Pour fixer les idées, supposons que les objets qu’on veut grouper soient les lettres de l’alphabet a, b, c, d,. . h, l.

Si l’on a m lettres et qu’on veuille les. arranger une ü une, le nombre des arrangements sera évidemment égal à ni : en désignant ce nombre par A,, on aura donc

Pour former les arrangements deux à deux, on écrira successivement, après chaque lettre <t, è, c, . . . , les /n — i autres lettres. On aura ainsi

ab.

ba.

ca^. . .

, la.

ac;

bc,

cb,...

, Ib,

ad.

bd.

cd,...

al.

bl.

cl,...

4o4 ALCtBRE ÉLÉMEKTAIUE.

Aucun arrangemeiil 2 à 2 n’aura élé omis, aucun n’aura élc répélé. Aucun arrangement n’aura été omis, car l’ordre suivi épuise toutes les dispositions possibles, soit relativement aux lettres employées, soit relativement aux places qu’elles occupent. Aucun arrangement n’aura été répété, car les arrangements qui sont dans une même colonne verticale diffèrent par la lettre qui les termine, et ceux qui ne sont pas dans une même colonne diffèrent par la lettre qui les commence. On a formé w colonnes, puisqu’il y a m lettres; chacune contient m — I arrangements. En désignant par A, le nombre des arrangements 2 à 2, on aura donc

Aj= m[m — I ').

Pour avoir les arrangements troix A trois, on écrira de même successivement, après chaque arrangement 232, les m — 1 lettres qui n’entrent pas dans l’arrangement considéré.

On aura ainsi abc.

acb.

adb , . .

. . , dab, . .

. , lab, .

abd.

acd,.

adc , .

. . , dac ,. .

., lac,.

abe.

ace.

ade , . ,

. . , dae . . .

. , lad, .

abl.

acl.

adl, .

. , dal, . .

lah,.

Aucun arrangement 3 à 3 n’aura été omis, l’ordre suivi épuisant toutes les dispositions possibles; aucun n’aura été répété, puisque les arrangements d’une même colonne verticale diffèrent par la lettre qui les termine, tandis que ceux qui n’appartiennent pas à là même colonne diffèrent au moins par l’ordre des deux premières lettres. On a formé m[m — i) colonnes, puisqu’il yam(/n — i) arrangements 232; chacune contient m — 2 arrangements. En désignant par A, le nombre des arrangements 3 à 3 , on aura

A3 = m[in — •)(”* — ^)-

La loi est évidente; mais nous allons démontrer directement la formule générale sans avoir recours à l’induction. Soit A„, le nombre des arrangements n — 1 à n — i. Pour avoir les arrangements n à n,, il faudra écrire successivement, après chaque arrangement n — 1 à « — i, les w — [n — 1) ou les m — n-H I lettres qui n’y entrent pas. Tous les arrangements nkn seront obtenus, car on peut former un arrangement n an quelconque, en plaçant le »bjel considéré à la suite de l’arrangement formé parles n 1 autres objets, 'fous les arrangements obtenus seront distincts; car ils différeront par le dernier objet s’ils correspondent à un même arrangement n — I à n — i, et si la lettre qui les termine est fa

ALGÈBRE LLÉ.VIlilNTAlRE. 4^*3

meme, ils différeront au inpins par l'ordre de leurs n — i premières lettres, puisqu’ils appartiendront à deux arrangements « — I à n — I différents. Chaque arrangement n — i à n — I donnant lieu à m — n + i arrangements n à «, on aura la formule

A„ représentant le nombre des arrangements n à «. Supjmsons successivement dans cette formule n = 2 , n = 3, « = 4>- • • > n = n ; il viendra

Aj=Ai(m — 2),

Si nous multiplions toutes ces égalités membre à membre et si nous remarquons que le premier membre de chaque égalité est égal au premier facteur du second membre de l’égalité suivante, nous aurons, en opérant les réductions et en remplaçant A, par sa valeur m,

Celte formule, qui donne le nombre des arrangements n à n de m objets quelconques, est composée de n facteurs ; le premier facteur est m, les autres facteurs diminuent successivement d’une unité jusqu’au ii''"* qui est m — n -|- i .

231. lïçmbie des permutations. Si l’on fait n — m dans la formule précédente, on a le nombre des arrangements de m objets pris m à m. Ces arrangements où entrent tous les objets donnés, ont reçu le nom de permutations. Si l’on désigne leur nombre par P« et si l’on renverse l’ordre des facteurs du secoCnd membre, on aura

Les facteurs du second membre forment la suite naturelle des nombres entiers, depuis 1 jusqu’à m.

•232. Nombre des combinaisons. Supposons qu’on ail formé les combinaisons n h « de m objets, c’est-à-dire les arrangements n à n de ces ni objets, qui diffèrent au moins par l’un des objets qui y entrent. En prenant toutes ces combinaisons dont je désignerai le nombre par C„ et en effectuant les permutations des rt objets qui composent chacune d’elles, j’obtiendrai lous’les arrangements n à n des m objets donnés. En effet, chaque permutation me donnera un arrangement n à n. Aucun arrangement ne sera omis, car chaipie combinaison

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

correspond ù un certain arrangement, en laissant de côté l’ordre des objets qui \ entrent; et en effectuant toutes les permutations de ces objets, je trouverai l’arrangement particulier qu’on a en vue. Aucun arrangement ne sera réjiété; car ceux qui proviennent d’une même combinaison diffèrent par l’ordre des objets, et ceux qui proviennent de deux combinaisons diverses diffèrent au moins par l’un des objets qui les composent.

Chaque combinaison contenant n lettres donnera lieu à un nombre P„ de permutations, qui sera égala i.2.3. . .n. On a d'ailleurs, d’après ce qu’on vient de dire,

On en déduit •

Cette formule générale renferme n facteurs au numérateur et « au dénominateur. Les premiers vont en décroissant depuis /r» jusqu’à m — n -f i, les seconds vont en croissant depuis i jusqu’à n.

Le nombre des combinaisons possibles étant nécessairement entier, la formule démontre ce théorème : ^

Le produit de n nombres entiers consécutifs quelconques est toujours divisible par le produit des n premiers nombres entiers.

On peut donner à la formule considérée une autre expression qui est quelquefois plus commode. Complétons les facteurs du numérateur jusqu’à i, en multipliant les deux termes de la fraction du second membre par i .2.3. . . (/n — m). Il viendra