X 1 .2.3.4. • • (ni — n
L(! numérateur contient alors m facteurs qui sont les nombres entiers de i àm; le dénominateur en contient aussi m qui sont les nombres entiers de i à n etde i à m — n.
233. Le nombre de combinaisons de m objets pris n à n est égal au nombre de combinaisons de m objets pris m — n à m — n. ' •
Eu effet, quand on a formé une combinaison «à n, les m — n objets restants forment une combinaison m — n à m — n. Les deux nombres de combinaisons sont donc identiques.
I-a forniuk!, sous la dernière forme indiquée, le prouve aussi immédiatement; car si l’on change n en m — n, on a
ÀLGÈDRE élémentaire.
Il n’y a pas d’aulre changenieni, si l’on compare l’expression de (J«„ à celle de C„ que le renversemenl des deux séries 1 .2.3. . . rt et 1 .2.3. . . (m — ra) au dénominateur.
Ainsi, le nombre des combinaisons de 12 objets pris 5 à 5 est égal au nombre des combinaisons de 12 objets pris 7 à 7, parce que 5 + 7 = 12,
234 . On peut demander parmi les combinaisons n à n de m objets, combien il y en a qui contiennent p objets déterminés. En ôtant ces p objets, il en reste m —p. Si l’on forme les combinaisons n — p à n — p de ces m — p objets, et si l’on range à la droite de chacune d’elles les p objets laissés de côté, on aura évidemment toutes les combinaisons nhn qui contiennent
ces p objets. Le nombre demandé est donc » en indiquant
ainsi le nombre de combinaisons de m — p objets pris n — p a
, Si l’on demande, au contraire, parmi les combinaisons n à n de m objets, combien il y en n qui ne contiennent aucun objet choisi parmi p objets déterminés, on verra' qu’en mettant à part ces p objets, il en restera m — p. Le nombre de combinaisons demandé sera donc celui de m — p objets pris n à n
ou
Enfin, si l'on veut savoir, parmi les combinaisons n à n de m objets, combien il y en a qui contiennent au moins un objet choisi parmi p objets déterminés , on commencera par former le
nombre des combinaisons qui ne contiennent aucun des
p objets désignés, et on le retranchera du nombre C" des combinaisons considérées.
233 . La probabilité d’un événement est le rapport du nombre des cas favorables ou des cas désignés au nombre des cas possibles, lorsqu’ils sont tous également possibles. Si une urne renferme 20 boules, 12 blanches et 8 noires, la jirobabilité sera,
pour la sortie d’une boule blanche, représentée par — ou
et, pour la sortie d’une boule noire, représentée par — ou g-
C’est-à-dire que, sur 5 boules successives, il est probable que l’on en retirera 3 blanches et 2 noires.
La roue de la Loterie pouvait amener yo numéros, sur les- (|uels il en sortait 5 au hasard. Prendre un extrait, c'était désigner un imméro qui devait se trouver parmi les 5 sortants pour qu’on eût gagné. Le nombre des cas possibles était égal au
4«8 ALGÈBRE ÉLÉMEKTAIRE.
nombre de combinaisons de 90 objels pris 5 à 5 , c’esl-à-dire à
• yo. 89. 88. 87. 86
Le nombre des cas favorables était celui des combinaisons de 90 objets pris 5 à 5 , qui contiennent un objet déterminé ( 234 ), c’ést-à-dire celui des combinaisons de 89 objets pris 4 à 4 ou
La probabilité de gagner l’extrait était donc égale au quotient
des deux expressions précédentes ou à — = -g- Sur 18 cas
possibles, il y en avait donc i favorable à la personne qui prenait l’extrait, et 17 à la loterie, ün pariait i contre 17. Lorsqu’on gagnait l’extrait, la loterie payait i 5 fois la mise.
Lorsqu’on désignait deux, trois, quatre, cinq numéros, op prenait un ambe, un terne, un quaterne ou un quine. En raisonnant, comme pour l’extrait, on trouverait :
Pour la probabilité favorable à la sortie d’un ambe donné
> loterie payait 270 fois la mise.
Pour la probabilité favorable à la sortie d’un terne donné
— ; la loterie payait 55 oo fois la mise.
Pour la probabilité favorable â la sortie d’un quaterne donné
— 53; la loterie ne payait que 76000 fois la mise. io38
Pour la probabilité favorable à la .sortie d’un quine donné
-r -—, — -rrri la lotcrie avait supprimé le quine. 439492.68
Formule du binôme.
23 G. Nous avons vu ( 23 ) que le produit de n polynômes .s’obtenait en formant tous les produits n à n des termes des polynômes proposés, c’est-à-dire que, dans chaque terme du produit, il devait entrer comme facteurs un terme du premier polynôme, un terme du second, un terme du troisième,..., un terme du n""'.
Apidiquons cette règle à la formation du produit des m binômes
Pt supposons qu’on ordonne le produit par rapport aux puissances décroissantes de x.
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ALGÈBRE ÉLÉMEKTAIRE. 4c>9
En prenant les m premiers termes des m binômes, on aura évidemment x*.
En prenant, dans m — i binômes, leur premier terme x, et dans le m'*'"' binôme, son second terme qui sera a, b, c,..., ou l, on obtiendra des termes de la forme et .la somme
de tous ces termes sera
Tel sera le terme en x^' du développement. Si l'on représente par S, la somme de tous les seconds termes des binômes, le terme en ar"-' prendra la forme S,ar”~'.
En prenant, dans m — 2 binômes, leur premier terme x, et dans les deux binômes restants leurs seconds termes qui seront a et A, a et c, a et d,..., ou l et A, on obtiendra des termes de la forme abx^^, et la somme de tous ces termes sera
[ab ac ad + . . . + Ih]
T«1 sera le terme en x^' du développement. Si l’on représente par S, la somme des produits 232 des seconds termes des binômes, le terme en prendra la forme S,x™“’.
On verra de même que le terme eii sera de la forme S, x*^% S, représentant la somme des produits 3 à 3 des seconds termes des binômes.
D’une manière générale, si l’on prend dans m — n binômes leur premier terme x, et dans les n binômes restants leur second terme, on obtiendra de§ termes en x^“; et la somme de tous ces termes ou le terme en x“-" du développement aura pour expression S„x"-“, en représentant par S„ la somme des produits n » n des seconds termes des binômes.
On obtiendra enfin le terme de degré o par rapport à x, en prenant les ni seconds termes des ni binômes. Ce terme, le dernier du développement, sera nbcd...hl, et nous le repré- * senterons par S„, produit des m seconds termes des binômes. . ► Le développement cherché pourra donc s’écrire : ” • .
X™ 4 - S, -f- S, X"-’ 4 - Sa x"'-= -!-.■ •
