CHAPITRE PREMIER

MIMÉRVTION.

Notions préliminaires.

1 . On appelle grandeur tout ce qui est susceptible d’augmentation ou de diminution. Les mathématiques sont la science des grandeurs. Au point de vue indique, tout serait du domaine des mathématiques, car tout est susceptible d’augmentation ou de diminution; mais les mathématiques ne traitent que des grandeurs mesurables. On peut dire qu’une distance est deux fois plus longue qu’une autre ; on ne peut pas dire que le génie de Newton soit deux fois plus grand que celui d’Euler.

2. Mesurer une grandeur, c’est la comparer à une grandeur de même espèce prise pour unité, c’est chercher combien de fois elle contient cette unité.

Quand on a ainsi mesuré plusieurs grandeurs de même espèce, on peut les comparer entre elles d’une manière précise en rapprochant les résultats obtenus.

Le choix de l’unité, c’est-à-dire de la commune mesure des

a ARITHMÉTIQUE.

grandeurs proposées, e.si arbitraire ; il faut seulement que cette unité soit parfaitement définie.

3. Le résultat de la comparaison d’une grandeur à son unité s’appelle rapport. On représente le rapport au moyen du nombre.

Nous ne nous occuperons d’abord que du cas où la grandeur à mesurer contient exactement son unité : on dit alors que le rapport et le nombre qui le représente sont entiers.

Quand on remplace ainsi la considération des grandeurs par celle des nombres correspondants, elles prennent le nom de quantités.

4. L’idée de nombre a son origine naturelle dans la réunion de plusieurs objets distincts, mais semblables. Si l’on pose cette question : Combien ce régiment renferme-t-il d’hommes? le choix de l’unité est alors forcé, et, cette unité étant néces- ' sairement indiquée, le nombre obtenu s’appelle nombre concret. Mais ici l’idée de pluralité domine celle de mesure : ce n’est pas une grandeur qu’on mesure, c’est une quantité.

Si l’on cherche au contraire à exprimer la capacité d’un réservoir, le choix de l’unité deviendra arbitraire : on pourra dire qu’il contient 200 litres ou 2 hectolitres; mais il faudra encore indiquer l’unité employée, le nombre obtenu sera toujours concret.

5. Si, au lieu de mesurer isolément une grandeur, on en mesure plusieurs pour pouvoir ensuite les comparer facilement, il n’est pas nécessaire d’indiquer l’unité choisie; car si une grandeur est deux fois plus grande qu’une autre, les nombres qui représenteront ces deux grandeurs seront toujours dans le rapport de 2 à i, quelle que soit cette unité. Les nombres obtenus ainsi, sans désignation de l’unité correspondante, sont appelés abstraits.

A proprement parler et en nous reportant à l’exemple précédent (4), les nombres concrets ne sont pas des nombres: deux cents est un nombre, deux cents litres est une capacité renfermant deux cents fois l’unité appelée litre.

L’Arithmétique comprend l’étude des opérations à effectuer sur les nombres abstraits et celle de leurs propriétés élémentaires.

6. 11 y a une infinité de grandeurs, une infinité de manières de les comparer; par suite, une infinité de rapports et une infinité de nombres.

11 faut pouvoir nommer et écrire tous ces nombres. L’ensemble des procédés employés pour le faire le plus simple-

AIUTHMÉTIQUE. 3

meni possible constitue ce qu’on appelle un système de numération.

On distingue entre eux les différents sjstèriies de numération parleur base, c’est-à-dire par le nombre de caractères qu’on y emploie.

Namération parlée.

7. Nous ne traiterons que de la numération décimale, et noos commencerons par exposer les règles de la numération parlée.

Les premiers nombres ont reçu des noms indépendants les uns des autres; ce sont :

un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf.

Le nombre suivant, qui est la base du système, a été appelé dix ou une dizaine.

8. On ne donne ensuite de nouveaux noms qu’à des collections d’unités de dix en dix fois plus grandes.

Ainsi, on forme une collection de dix dizaines, et on l’appelle cent ou centaine;

Une collection de dix centaines, et on l’appelle mille ou unité de mille ;

Une collection de dix unités de mille, et on l’appelle dix mille ou dizaine de mille ;

Une collection de dix dizaines de mille, et on l’appelle cent mille ou centaine de mille ;

Une collection de rf/j: centaines de mille, et on l’appelle million Ou unité de million;

Une collection de dix millions, et on l’appelle dix millions ou dizaine de millions;

Une collection de dix dizaines de millions , et on l’appelle cent millions ou centaine de millions;

Une collection de dix centaines de millions, et on l’appelle billion ou unité de billion, etc.

Ces collections successives, formées de nombres de dix en dix fois plus grands, portent le nom A'unilés des différents ordres. Un est l’unité du premier ordre, dix l’unité du second ordre, cent l’unité du troisième ordre, mille l’unité du quatrième ordre, dix mille l’unité du cinquième ordre, cent nulle l’unité du sixième ordre, un million l’unité du septième ordre, etc.

Cette création des unités des différents ordres constitue en réalité toute la numération parlée et, par suite, la numération elle-même.

Il faut remarquer que les mots unité, dix, cent, se répètent constamment de trois ordres en trois ordres ou de trois rangs

4 AntTHMÉTIQLE.

en trois rangs ; et qu’un nouveau mol n’apparatt que lorsqu’il s’agit des unités du quatrième, du septième, du dizième ordre, etc.

9. Nous pouvons maintenant énoncer un nombre quelconque; car un nombre quelconque peut être décomposé en ses unités de différents ordres, le nombre de ces unités étant, pour chaque collection particulière, inférieur à dix.

Supposons qu’on veuille compter combien un sac contient de billes.

On rangera ces billes dix par dix, et l’on finira par trouver une dernière collection inférieure à dix, qui comprendra par exemple sept billes.

On rangera ensuite les collections de dix billes en les réunissant dix par dix à leur tour, et l’on finira par trouver une collection inférieure à dix dizaines de billes, qui comprendra par exemple neuf dizaines de billes.

On rangera ensuite les collections de cent billes en les réunissant dix par dix, et l’on finira par trouver une collection inférieure à dix Centaines de billes, qui comprendra par exemple trois centaines de billes.

Supposons qu’il reste alors seulement cinq collections de dix centaines dq billes ; le nombre de billes contenu dans le sac pourra s’énoncer ;

cinq mille trois centaines neuf dizaines sept unités.

10. Si des unités d’un certain ordre venaient à manquer, on l’exprimerait en disant qu’elles sont en nombre zéro. Si le nombre précédemment énoncé ne contenait pas de centaines par exemple, on po.urrail dire qu’il est égal à

cinq mille zéro centaines neuf dizaines sept unités.

Numération écrite.

11. Les neufs premiers nombres sont représentés par les caractères ou chiffres

qu’on appelle chiffres significatifs, pour les distinguer du dizième caractère o qui représente le zéro.

12. Puisque pour énoncer un nombre il suffit d’énoncer combien il renferme d’unités des différents ordres (9), pour l’écrire il suffira aussi d’écrire les chiffres correspondants aux collections qui le composent.

11 faut seulement pouvoir représenter par l’écriture adoptée la succession établie entre ces collections.

La convention suivante résulte immédiatement du luincipe fondamental de la numération parlée : ,

Toul chiffre placé à la droite d’un autre vaut dix fois moins que s’il était à la place de cet autre, ou, en d’autres termes, exprime des unités de tordre immédiatement inférieur.

D’après cette convention, pour écrire le nombre cinq mille trois centaines neuf dizaines sept unités, nous écrirons un 5 pour représenter les mille, un 3 à la droite du 5 pour représenter les centaines, un 9 à la droite du 3 pour représenter les dizaines, un 7 à la droite du 9 pour représenter les unités; et nous obtiendrons le nombre 5397. *

S’il n’y avait pas eu de centaines, on aurait écrit 5o<)7.

On voit que le zéro sert seulement à donner aux différents chiffres significatifs la valeur relative convenable.