Supposons qu’on cherche la somme des trois nombres

Le principe énoncé (19) conduit immédiatement à écrire ces trois nombres, l’un au-dessous de l’autre, de manière que les unités de même ordre se correspondent dans une même colonne verticale :

On additionne alors colonne par colonne, en commençant par celle des unités. Il résulte de la numération que, si le résultat donné par une colonne ne surpasse pas 9, on doit l'écrire tel qu'on le trouve sous la colonne correspondante, en séparant par un trait horizontal les chiffres du total de ceux des nombres à ajouter. Si le résultat trouvé surpasse 9, on doit n’écrire sous la colonne considérée que les unités de ce résultat, en ayant soin d'ajouter avec la colonne suivante autant d unités que ce résultat contient de dizaines : ces unités forment ce qu’on appelle la retenue.

Ainsi, dans l’exemple proposé, la colonne des unités donnant 12. pour somme partielle, je pose 2 sous cette colonne, ei retiens i pour l’ajouter avec la colonne des dizaines.

La colonne des dizaines donnant alors 6 pour somme partielle, je pose 6 sous cette colonne.

La colonne des centaines donnant 21 pour somme partielle, je pose I sous cette colonne, et je retiens 2 pour l’ajouter aux mille de la colonne suivante.

La colonne des mille donnant alors i5, je pose 5 sous celte colonne, et je retiens i pour l’ajouter aux dizaines de mille de la colonne suivante : je pose donc 2 sous cette dernière colonne, et j’obtiens pour somme des nombres proposés 25162.

22. On doit commencer l’opération par la droite ; en effet, si on la commençait par la gauche et si quelques-unes des colonnes ajoutées fournissaient des retenues, on serait obligé, pour en tenir compte, d’effacer ou de modilier des chiffres déjà écrits.

23. On appelle preuve d’une opération, une seconde opération ayant pour but de contrôler l’cxaciitudc de la première.

Lorsque la preuve d’une opération réussit, l’exactitude du résultat est probable, elle n'est pas cer/rtme.

8 AKITHMÉTIQUE.

L’addition étant la plus simple de toutes les opérations, sa preuve consiste en une autre addition. Si l’on a par exemple additionné en descendant, c’est-à-dire en allant de haut en bas, on recommence le calcul en montant, c’est-à-dire en allant de bas en haut (*).

Soustraction.

24. La soustraction a pour but de chercher combien la différence de deux nombres donnés renferme d’unités.

Cette différence s’appelle encore excès du plus grand nombre sur le plus petit ou reste Ae la soustraction.

La définition adoptée prouve que le plus petit nombre augmenté du reste trouvé doit reproduire le plus grand nombre.

On peut donc dire encore que la soustraction a pour but, étant donnés la somme de deux nombres et l’un de ces nombres, de trouver l’autre.

25. De même que pour ajouter plusieurs nombres, on peut ajouter leurs différentes parties, pour soustraire deux nombres, on peut aussi retrancher successivement les unités, dizaines, centaines, etc., du second nombre, des unités, dizaines, centaines, etc., du premier, et grouper ensuite les résultats partiels obtenus.

26. Nous ne nous arrêterons pas aux cas simples de la soustraction, et nous admettrons que l’habitude a appris à soustraire immédiatement un nombre d’un seul chiffre d’un nombre d’un seul chiffre ou d’un nombre de plusieurs chiffres.

27. Passons au cas général, et supposons qu’on ait à soustraire 357816 de 910549.

Nous nous appuierons ici sur ce principe évident ;

La différence de deux nombres ne change pas, quand on les augmente tous les deux d’une même quantité.

La remarque faite plus haut (25) conduit à écrire le plus petit nombre sous le plus grand, de manière que les unités de même ordre se correspondent dans une même colonne veiv ticale.

qio54q

C) Quand on recommence de la même manière une addition fautire, il est assez ordinaire de refaire la même faute : si l'on a dit $7 et g font !\ 3 , ii a été r remarque qu’on était sujet à le répéter. En recommençant l’addition en sens inverse, on rompt la consonnanoe, et l’on ne commet plus d’erreur parce qu’on n’a plus a ajouter 87 et g.

ABITHMÉTIQUE. 9

On retranche alors colonne par colonne en commençant par celle des unités. Si le chiffre inférieur est plus faible que le chiffre supérieur qui lui correspond, on écrit immédiatement te résultat trouvé sous la colonne considérée, en séparant par un trait horizontal les chiffres du reste de ceux des nombres à soustraire. Si le chiffre inférieur t emporte au contraire sur le chiffre supérieur, on augmente ce dernier de dix, de manière que la soustraction soit toujours possible, mais par compensation on augmente d’une unité le chiffre inférieur de la colonne suivante.

De celle manière, les deux nombres croissanl d’une même quanliié, leur différence ne change pas, el la soustraclion peul se poursuivre jusqu’à la fin comme dans le cas parliculier où lous les chiffres du plus pelil nombre lombenl au-dessous de ceux qui leur correspondenl dans le plus grand nombre.

Ainsi, dans l’exemple proposé, on dira 6 de 9 resle 3, qu’on pose sous la colonne des unilés; i de 4 resie 3, qu’on pose sous celle des dizaines.

Arrivé à la colonne des cenlaines, on ne peul relrancherS de 5. On dira alors 8 de i5, resle 7, en augmenlanl le chiffre supérieur de 10, c’esl-à-dire le nombre supérieur de dix centaines ou d’un mille, el l’on écrira 7 sous la colonne des centaines.

Arrivé à la colonne des mille, on augmente par compensation le chiffre inférieur 7 d’une unité, ce qui revient à augmenter d’un mille le nombre inférieur, el l’on dit, en employant le même procédé, 8 de 10 resle 2, qu’on écrit sous la colonne des mille.

On continue en disant 6 de 1 1 resle 5, 4 de 9 reste 5, el le reste demandé est 552733.

Il faut commencer la soustraclion par la droite ; en effet, si onia commençait par la gauche et si l’on rencontrait dans le plus petit nombre quelques chiffres qui remportassent sur ceux qui leur correspondent dans le plus grand nombre, ou serait obligé, pour faire croître les deux nombres donnés d’une même quantité, de modifier ou d’effacer les chiffres déjà écrits au résultat.

29. La preuve de la soustraction s’effectue en ajoutant le reste trouvé au plus petit nombre : on doit ainsi reproduire le plus grand.

Motions sur les compléments.

30. On appelle complément arithmétique d’un nombre ce qu il faut ajouter à ce nombre pour former une unité de l’ordre immédiatement supérieur à celui de ses plus hautes unités, en

lO ARITHMÉTIQUE.

d’autres termes, ce qu’il faut ajouter à ce nombre pour obtenir l’unité suivie d’autant de zéros qu’il contient de chiffres.

Pour avoir le complément d’un nombre, on le retranchera donc de l’unité suivie d’autant de zéros qu’il a de chiffres. D’après cela, le complément de 682817 sera 317183. .

Pour faire cette soustraction, on peut regarder 1000000 comme égal à 999990 plus 10 unités, c’est-à-dire rétrancher de 9 tous les chiffres de 682817, sauf le dernier que l’on retranchera de’ loi

S’il y a des zéros à droite du nombre proposé, ils se retrouvent en nombre égal à droite de son complément : . le complément de 5670 est 433o.

En résumé, la règle sera de retrancher de 9 tous les chiffres du nombre donné, excepté le dernier chiffre significatif à droite qu’on retranchera de 10, en ayant soin d’écrire à la droite du complément tous les zéros qui, à partir de ce chiffre, peuvent se trouver à la droite du nombre donné.

31. On peut transformer la soustraction en véritable addition au moyen des compléments. En effet, puisqu’on ne change pas la différence de deux nombres en les augmentant d’une même quantité, on pourra ajouter à ces deux nombres le complément du plus petit ; mais le plus petit nombre augmenté de son complément donnera une unité de l’ordre immédiatement supérieur à celui de ses plus hautes unités. La soustraction sera donc ramenée à retrancher cette unité de la somme obtenue en ajoutant au plus grand nombre le complément du plus petit.

Soit à soustraire 578190 de 1417813. On ajoutera 1417813 et 421810, complément de 578190, et arrivé à la colonne des millions, on aura soin de diminuer d’une unité le résultat fourni par cette colonne ;