THÉORIE DE LA DIVISIBILITÉ

79. Lorsqu’un nombre en divise un autre sans reste, on l’appelle diviseur exact ou simplement diviseur de cet autre.

Lorsqu’un nombre admet un diviseur exact, on dit qu’il est divisible par ce diviseur ou qu’il en est un multiple (*) : le diviseur, à son tour, est un sous-multiple ou un facteur de ce nombre.

Il est utile de pouvoir juger rapidement, à certains caractères particuliers , si un nombre est diviseur exact d’un autre nombre, au moins dans les cas où le diviseur est très-petit et la condition correspondante très-facile à vérifier. On ramène la question à la recherche des restes fournis par un nombre quelconque, lorsqu’on essaye les diviseurs dont il s’agit. En effet, si un nombre, divisé par 9 par exemple, donne un reste nul, ce nombre sera un multiple de 9.

Avant d’indiquer les conditions de divisibilité, nécessaires à connaître dans la pratique, nous démontrerons plusieurs théorèmes essentiels sur les diviseurs.

80. I. Lorsqu’un nombre est diviseur de toutes les parties d’une somme, il est diviseur de cette somme.

En effet, puisqu’il est contenu exactementdans chaque partie delà somme, cette somme en sera nécessairement un multiple.

Par la même raison, tout diviseur d'un nombre divise les multiples de ce nombre.

81. IL Lorsqu’un nombre en divise deux autres, il divise leur différence.

En effet, puisqu’il est contenu exactement dans chaque par-

(*) On peut dire, d’après cela, que la division a pour but de chercher le plus grand multiple du diviseur contenu dans le dividende.

lie de la différence, celle différence en sera nécessairement un mulliple.

Il suil de là que tout diviseur de deux nombres divise le reste de leur division. En effet, ce reste est la différence du dividende et du produit du diviseur parle quotient, c’est-à-dire la différence de deux multiples du diviseur considéré.

82. III. On ne change pas le reste d’une division en faisant varier le dividende d’un multiple du diviseur, ce qui revient à dire que, lorsque deux dividendes ne différent que d’un multiple d’un certain diviseur, divisés par ce diviseur, ils donnent des restes égaux.

En effet, le reste d’une division représentant Vexcès du dividende sur le plus grand multiple du diviseur qui y est contenu, ne dépend en rien de ce plus grand multiple qu’on peut augmenter ou diminuer à volonté sans influer sur le reste.

83. IV. Réciproquement, si deux nombres divisés par un troisième donnent des restes égaux, leur différence est un multiple de ce troisième nombre.

Soit 38 et 23, divisés par 5. On aura

38 = 5 X 7 -f- 3 et a3 =;5 X 4 -I- 3 . ’

Il en ré.^Itera évidemment

38 — 23 = 5X7 — 5x4 = un mult. de5.

84. V. Si l’on divise un produit de deux facteurs par un ceriain nombre, on obtient un certain reste; si l’on divise chacun de ces facteurs par le même nombre, si l’on multiplie entre eux les deux restes obtenus et si l’on divise encore leur produit par le même nombre, on trouve le reste déjà fourni par le produit des deux facteurs.

On énonce plus rapidement, mais moins clairement ce théorème, en disant : Le reste d'un produit est égal au reste du produit des restes des deux facteurs , le diviseur employé restant le même.

Soit 43 X 21. Prenons 9 pour diviseur. On aura 43 = 9X4 + 7 Pt 2 i = 9 X 2 -f- 3 ,

d où

43X2I = 9X4X9X2-|-7X9X2-|-9X4X3-^7X3 = un mult. de 9 -t- 7 X 3.

Par suite,

43 X 21 — 7 X 3 = un mult. de 9.

Puisque les deux produits 43 X 21 et 7 X 3 diffèrent exactement d’un multiple de 9, on en conclut (82) que, divisés par le diviseur 9, ils donneront des restes égaux.

C’est sur ce théorème, qu'on peut facilement généraliser et étendre à un nombre quelconque de facteurs, que repose la preuve de la multiplication au moyen des caractères de divisibilité.

Caractères de divisibilité par 2, 5, 3, 9, 11.

85. I. Pour qu'un nombre soit divisible par 2" ou 5", il faut et il suffit que le nombre formé par ses n derniers chiffres à droite soit divisible par 7." ou 5".'

En effet, tout nombre peut se décomposer en ses unités du {n -h i)''™* ordre, plus le nombre formé par ses n derniers chiffres à droite. Les imités du (ra-i-i)'*"” ordre sont suivies de n zéros, c’est-à-àire qu’elles sont toujours un multiple de 10" ou de 2 " X 5*, puisque 10 = 2X5. Il en résulte que la première partie du nombre donné sera toujours divi'^ sible par a" ou 5", et que le reste de sa division par 2" ou 5" ne pourra provenir que du nombre formé par ses n derniers . chiffres à droite (82).

En particulier, supposons d’abord n=i. Nous’ en déduirons la règle suivante : Pour qu’un nombre soit divisibl^par 1 ou par 5, il faut que son dernier chiffre à droite, c'est-à-dire le chiffre de ses unités, soit divisible par 2 ou par 5.

Quand un nombre est divisible par 2, on dit qu’il est pair : il est impair dans le cas contraire. Donc un nombre est divisible par 2, quand le chiffre de ses unités est pair; il est divisible par 5, quand le chiffre de ses unités est o ou 5.

Supposons encore n = 2 . Nous en déduirons cette seconde règle : Pour qu’un nombre soit divisible par 2’ ou par 5*, c’est-à-dire par 4 ou par 2.5, il faut que le nombre formé par ses deux derniers chiffres à droite soit divisible par 4 ou par 2,5.

86. \\. . Pour qu’un nombre soit divisible par ^ ou par 3, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par g ou par 3.

Nous partagerons la démonstration en trois parties.

i”. unité, suivie d’un nombre quelconque de zéros, est un multiple de g ou de 3, plus i .

En effet, un nombre formé seulement de 9 est un multiple de 9 ou de 3, car, divisé par 9 ou par 3, il donne au quotient autant de 1 ou de 3 qu’il renferme de 9 (52). De plus, si l’on ajoute I à ce nombre, on obtient l’unité suivie d’autant de zéros qu’il contient de 9.

■ JlRlTHMÉTIQl'i;. 57

2". Un chiffre significatif, autre que l’unité, suivi d’un nombre quelconque de zéros, est un multiple de 9 ou de 3 , plus ce chiffre.

On a, par exemple,

d’üù

5 ooo = ( un mull. de 9 ou de 3 -h 1) x 5

= un mult. de 9 ou de 3 + 5 . ^

3 “. Soit maintenant un nombre quelconque 82643. On peut le décomposer en ses unités des différents ordres et poser

On pourra écrire alors, d’après ce qui précède, les égalités suivantes :

80000 = un mult. de 9 ou de 3 4- 8 1

2000 =: un inult. de 9 ou de 3 4-«

600 = un mult. de 9 ou de 3 4-6 4 o = un mult. de 9 ou de 3 + 4 3 = ’ 3

Si on les ajoute membre à membre on trouvera

82643 = un mull. de 9 ou de 34 -( 84 - 24 - 64 - 4 -t-^)-

Le reste de la division de ce nombre par 9 ou . par 3 ne pourra donc provenir que de la somme de ses chiffres*: le théorème est, par' suite, établi.

Dans la pratique , on fait la somme des chiffres en supprimant 9 successivement, et l’on dit; 8 et 2, 10; i et 6, 7; 7 el 4 , • • ; 2 et 3 , 5 . 5 est le reste de la division du nombre considéré par 9. Si l’on essaye le diviseur 3 , on fait la somme des chiffres, et on la divise directement par 3 . On dit: 8 et 2, 10; 10 et 6, 16; 16 et 4, 20 et 3 , 2,3. 23 divisé par 3 donne 2 pour reste. 2 est le reste de l« division du nombre considéré par 3 .

87 . III. Pour qu’un nombre soit divisible par 1 1 , il faut et il suffit que l’excès de la somme de ses chiffres de rang impair à partir de la droite, sur la somme de ses chiffres de rang pair, soit divisible par m .

Nous partagerons la démonstration en trois parties.

I". L’unité suivie d’un nombre impair de zéros est un multiple de 1 1 moins 1 , et l’unité suivie d'un nombre pair de zéros est un multiple de ii plus r.

On a

Il en résulte

AMTHMÉTIQVE.

100 = 10 X lo = (i I — i) X io= un inult. de 1 1 — lo

ou

100 = un mult. de 1 1 — (i i — i), ce qui peut s’écrire ( 62 ):

1 00 = un mult. de 1 1 — 1 1 + i

ou

1 00 = un mult. de 1 1 1 .

De même, looo = loo x «o= (un mult. de 1 1 + 1) X *o ou 1000 = un mult. de 1 1 + lo = un mult. de 1 1 + 1 1 — i , c’està-dire

iooo = un mult. de 1 1 — i.

Soit encore loooo = iooox lo, on aura

loooo = (un mult. de 1 1 — i) X io = un mult. de 1 1 — lo = un mult. de 1 1 — it-l-i, '

c’est-à-dire

loooo = un mult. de 1 1 -f- 1 .

En continuant toujours de la même manière, on démontre la première partie du théorème.

2“. Un chiffre significatif, autre que l'unité, suivi d’un nombre impair de zéros, est un multiple de ii moins ce chiffre: et un chiffre significatif, autre que l’unité, suivi d’un nombre pair de zéros, est un multiple de 1 1, plus ce chiffre. Soit Sooooo. On aura

5 ooooo = looooo X 5 = (un mult. de 1 1 — i) X 5 , c’est-à-dire

Sooooo = un mult de 1 1 — 5 .

Soit 8000000. On aura

8000000 = 1000000 X 8 = (un mult. de 1 1 -(- i) X 8, c’est-à-dire

8000000 = un mult. de 1 1 8.

3 “. Soit maintenant le nombre 487569. On pourra le décoinposer en ses unités des différents ordres et poser

48756g = 400000 -1- 8booo -f- 7000 -f- 5 oo -f- 60 -i- 9.

On pourra alors écrire, d’après ce qui précède, les égalités

suivantes :

AnlTUMÉTlQtlB.

400000 = un mull. de 1 1 — 4 80000 — un mult. de 11 + 8 7000 = un mull. de 1 1 — 7 5oo = un mull. de 1 1 -H 5 60 = un mull. de 1 1 — 6 9 = 9

Si on les ajoule membre à membre, on trouvera

487569 = un mult. de 1 1 — 4~1"8 — 7+5 — 6 + g ou

487569 = un mult. de n + (g + 5 + 8) — (6 + 7 + 4) !

ce qui démontre le théorème.

Le reste de la division du nombre proposé par 1 1 ne peut provenir que de l’excès de la somme 94-5 + 8 sur la somme 6 + 7 + 4; il est donc, dans l’exemple considéré, égal à 5.

Il peut arriver que la somme des chiffres de rang pair l’emporte sur la somme des chiffres de rang impair. Dans ce cas, on augmente la somme des chiffres de rang impair (f’aulant de fois 1 1 qu’il est nécessaire pour que la soustraction soit possible. En effet, on peut toujours détacher ce nombre de fois 1 1 du multiple de 1 1 qui forme la première partie du nombre donné. Soit 35291. On aura

35291 = un mult. de 1 1 +6 — 14- Si l’on détache une fois it du multiple de ii, on aura

35291 = un mull. de 1 1 + Il + 6 — 14

= un mult. de 1 1 + 17 — 14 = un mull. de 1 1 + 3.

Prenres des quatre opérations, au moyen des caractères de divisibilité.

88. Pour faire ces preuves, il vaut mieux employer un diviseur tel que 9, parce que tous les chiffres du résultat concourent à la preuve (86), ce qui n’aurait pas lieu pour les diviseurs qui sont des puissances de 2 ou de 5 (83).

89. Addition et soustraction. — Soit à additionner les nombres 8457, 2392, 1547; somme sera égale à 12396. On aura les égalités suivantes (85) ;

8457 == un mull. de 9 + 6,

2392 = un mull. de 9 + 7, i 547 = mult. de 9 + 8,

12396 = un mult. de 9 + 3.

4o AIUTHMÉTIQTJE.

En comparant les trois premières égalités et la dernière, on voit que la somme des restes partiels 6 + 7+8 ne doit différer du reste 3 que d’un multiple de 9; ce qui a lieu en effet.

Soit à soustraire les nombres 82357 et 19853 : leur différence sera Ô25o4. Il faudra, d’après ce qu’on vient de dire pour l’addition, que la somme des restes fournis par le plus petit nombre iq853 et la différence 625o4 ne diffère du reste donné par le plus grand nombre 82357 que d’un multiple de 9. Le reste de la division de 82,357 par 9 est 7 , celui de la division de 62504 est 8, comme celui de la division de 19853. La somme 8 + 8 ou 16 diffère bien de 7 d’un multiple de 9.

90 . Multiplication. — La preuve de la multiplication par 9 résulte immédiatement du théorème démontré au n“ 84 . Nous indiquerons donc seulement la marche à suivre sur un exemple. Soit 4832 à multiplier par 627. Le produit est 3029664. Le reste de la division de ce produit par 9 est 3. Les restes de la division du multiplicande et du multiplicateur par 9 sont 8 et 6. Le produit de ces deux restes est 48, le reste de la division de ce produit par 9 est 3, comme on l’a déjà trouvé pour le produit 3029664 ; l’exactitude de la multiplication est donc probable-

91 . Division. — S’il s’agit de vérifier une division, on n’a qu’a appliquer ce qu’on vient de dire pour l’addition et la multiplication, puisque le dividende doit être égal au produit du diviseur par le quotient, plus le reste. Soit à diviser 8031991 par 4832 ; on trouvera pour quotient 627 et pour reste 2827. Le dividende divisé par 9 donnera pour reste 8. Le produit du diviseur par le quotient donnera, d’après ce qui précède, le même reste que le produit 8x6 des restes obtenus en divisant séparément par 9 le diviseur et le quotient : ce reste sera donc 3 . Enfin, le reste 2827 de l’opération, divisé par 9, donnera pour reste 5 . Il faut donc que la somme des deux derniers restes 3 + 5 soit égale au premier reste trouvé 8 ou n’en diffère que d’un multiple de 9.

92 . Si l’erreur commise dans une opération était Juste égale à un multiple du diviseur emplové, la marche indiquée ne pourrait la faire découvrir.

iKlTHHÉTIQUE.