THÉORÈMES RELATIFS A13X QUATRE OPÉRATIONS. - DES PUISSANCES

q8 . Les quatre opérations que nous venons d’étudier ont chacune leur signe représentatif.

L’addition s’indique au moyen du signe +•; l’expression 5-f- 3 signifie 5 pfus 3.

La soustraction s’indique au moyen du signe — ; l’expression 7 — : 2 signifie 7 moins 2.

La multiplication s’indique au moyen du signe X ; l’expression i5 X 9 signifie i5 multiplié parcf.

La division s’indique au moyen du signe : ; l’expression 12:3 signifie in. divisé par

59. Quand on veut soumettre à une certaine opération le résultat d’une opération qui n'esl elle-même qu’indiquée, il faut employer un signe particulier ; on met alors entre parenthèses l’indication de la première opération, et le signe de la seconde opération porte sur toute la parenthèse.

Soit la somme 5 3 à multiplier par 7 ; il faudra mettre 5-1-3

entre parenthèses et écrire (5-1-3) X 7. Si l’on ne prenait pas celte précaution, et si l’on écrivait simplement 5-1-3 X 7, au lieu d’indiquer le produit de la somme 5-1-3 par 7, on indiquerait la somme de 5 et du produit 7X3.

De même, si l’on veut indiquer la division de la différence i5 — 3 par la somme 2 -I- 7, on écrira (i5 — 3):(2-i-7).

60. Quand deux expressions sont égales ou doivent donner (les résultats égaux lorsqu’on exécute les calculs qui y sont indiqués, on emploie le signe =; ainsi 14X2 = 4X7 veut dire que le produit de i4 par 2 est égal au produit (le 4 par 7.

1 4 X 2 est le premier membre, 4 X 7 est le second membre de

l’égalité 14X2 4X7.

Quand deux expressions sont inégales, on l’indique en les , séparant par le signe >, l’ouverture du signe devant être tournée du côté de la plus grande quantité. Ainsi, on écrira

1 5 X 2> 3 X 9, pour indiquer que le produit de i 5 par 2 surpasse celui de 3 par 9, ou 3 X 9 <C >5 X 2 pour indiquer que le premier produit est plus petit que le second. Dans le premier cas, on dit i 5 X 2 plus grand que 8x9; et dans le second, 3x9 plus petit que i 5 X 2.

61 . On remplace quelquefois en arithmétique les nombres par des lettres quelconques, pour rendre le raisonnement plus rapide ou l’expression d’une vérité plus facile à retenir.

Le produit de deux nombres représentés par les lettres a et 6 s’indique alors en écrivant ces deux lettres à côté l’une de l’autre. Ainsi ay< b= ab; de même « X 5 = 5 a.

Si l’on représente, par exemple, par D le dividende d’une division quelle qu’elle soit, par d le diviseur, par Q le quotient, par R le reste de l’opération, on se rendra très-nettement compte de la composition du dividende en écrivant : -

D = rfQ-|-R.

Lorsque plusieurs nombres ont une propriété commune ou un mode de formation analogue, on les représente souvent par la même lettre, et on les distingue entre eux en accentuant successivement cette lettre d’un, ou deux, ou trois accents. Ainsi, pour représenter une série de quotients se déduisant les uns des autres, on écrira q, q', q", et l’on énoncera les lettres affqctées d’accents, en disant ç /?n'/ne, q seconde, etc.

On peut démontrer, sur les opérations, plusieurs théorèmes (*) qui facilitent beaucoup les calculs et qui sont essentiels à connaître : nous allons les parcourir.

Théorème relatif à la sonstraction.

62 . Pour retrancher d’un nombre la différence de deux autres, il faut lui ajouter le plus petit de ces deux nombres, et retrancher le plus grand du résultat.

Soit 8 dont on veut retrancher i 5 — 10 : on ne changera rien à la différence demandée en augmentant 8 et i 5 — 10 d’une même quantité 10; mais alors, il reste i 5 à retrancher de la somme 8 -|- 10. On exprime ce théorème par l’égalité :

8 — (i 5 — io) = 8 -i-âo — 15 .

(*) On entend par Ihcoréuic l’énonec d’mio vérité qui a Ijvsuiii de denumstriilion ; eo«'«//<uVe signille : cunscciuence d'un théorème.

AHITHMÉTIQL'E.

Théorèmes relatifs à la multiplication.

• C3. 1. Pour multiplier une somme par un nombre, il faut

multiplier chaque partie de la somme par ce nombre, et ajouter les produits partiels obtenus.

Soit (4 + 5-(-7)x 3. Il faudra répéter 3 fois la somme 4-f-5+7, et le résultat renfermera 3 fois chaque partie de cette somme. On aura donc bien :

11 est évident que, pour multiplier un nombre par une somme, il faudra de même multiplier ce nombre par chaque partie de la somme, et ajouter les résultats partiels obtenus ; car

et dans chacun des résultats 4 X 3, 5x3, 7x3, on peut renverser l’ordre des deux facteurs (W).

11 résulte aussi de ce qui précède que, pour diviser une somme par un nombre, il faut diviser chaque partie de la somme par ce nombre. En effet, puisque

44-5 + 7 est bien le quotient de4x3 + 5x3 + 7X3ou de la somme 12 + 15 + 21 divisée par 3 (44).

Enfin, pour multiplier deux sommes l’une par l'autre, il faut multiplier chaque partie de la première somme par chaque partie de la seconde, et ajouter les résultats partiels obtenus. Soit (4 + 5 + 7) X (2 +9). On pourra regarder le premier produit comme effectué : le résultat sera alors égal à •

c’est-à-dire en réalité à la somme obtenue en multipliant chaque partie de la première somme par chaque partie de la seconde.

64. II. Pour multiplier une différence par un nombre, il faut multiplier chaque partie de la différence par ce nombre et retrancher le plus petit produit du plus grand.

Soit (i5 — 10 ) X 2 . La différence i5 — 10 étant égale à 5, on a

i5 = io+5(24), d’où i5 X 2 = 10 X 2 + 5x 2 (63).

Puisque i5 X 2 est la somme des deux produits 10X2 et 5X2, le produit 5X2 0u(i5 — 10) x 2 est bien égal à son tour à la différence des deux produits i5 X 2 et 10 x 2.

Il est é\ident que, pour multiplier un nombre par une dif-

férence, il faut multiplier ce nombre par chaque partie de la différence et retrancher le plus petit produit du plus grand. Soit en effet, ax (i5 — lo). Ce produit est égal à (i5 — io)x a, et dans chacun des résultats i5 X 2 et lo x a, on peut renverser l’ordre des deux facteurs.

Il résulte aussi de ce qui précède que, pour diviser une dif- ' férence par un nombre, il faut diviser chaque partie de la différence par ce nombre. En effet, puisque (i5 — 10) x 2 est égal à i5x 2 — 10 X 2, i5 — 10 est bien le quotient de la division de i5x 2 — 10 X 2 ou de la différence 3o — 20 divisée par 2.

65. Soit l’expression'5 X 3 X 7 X 2 X 9. Elle signifie qu’il faut effectuer le produit de 5 par 3, puis multiplier ce résultat par 7, le nouveau résultat obtenu par a, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ait employé tous les nombres 5, 3, 7, 2, etc., qu’on appelle les facteurs du produit définitif.

66. III. Étant donné un produit de plusieurs facteurs, on peut intervertir leur ordre de toutes les manières possibles, sans que le produit varie.

Ce théorème est fondamental, nous partagerons sa démonstration en trois parties.

1®. Dans un produit de trois facteurs, on ne change pas le produit en changeant l’ordre des deux derniers.

Soitôx 3 X 5. Je dis qu’on peut poser

En effet,

et

6x3x5=(6-+-6^6)x5 = 6x5-|-6x5-f-6x5, d’où

On en déduit immédiatement que, dans un produit d’un nombre quelconque de facteurs, on peut changer l’ordre des deux derniers jans changer le produit. ■

Je dis qu’on aura, par exemple,

En effet, pour former ces deux produits, il faudra toujours commencer par multiplier entre eux les trois premiers facteurs qui sont identiques de part et d’autre, et la question sera ramenée à prouver que 216 X 3 x8 = 2i6x8x 3 .

2”. Dans un produit d’un nombre quelconque de facteurs, on peut changer l’ordre de deux facteurs consécutifs quelconques sans changer le produit.

a8 ARITHMÉTIQUE.

Je dis qu’on aura, par exemple,

En effet, puisqu’on a, d’après ce qui précède,

on obtiendra encore des produits égaux, en multipliant successivement ces deux produits égaux par les mêmes facteurs 6 et 9.

3 ”, On peut faire passer un facteur quelconque à tous les rangs, sans changer le produit.

Dans le produit 2 x 9X 7 X 4 X puis, par exemple, sans modifier le produit, échanger le facteur 7 d’abord avec le facteur 9, puis ensuite avec le facteur 2, ou bien l’échanger avec le facteur 4 , et ensuite avec le facteur 5 . On peut répéter pour tout autre facteur ce qu’on vient de dire pour le facteur 7 : il en résulte que l’ordre des facteurs n’influe en rien sur le produit.

67 . On déduit du théorème fondamental que nous venons d’établir les remarques suivantes.

Remarque I. Pour multiplier un nombre par un produit de plusieurs facteurs, il suffit de former un produit unique avec ce nombre et tous les facteurs du produit.

Soit 35 X (2 X 3 X 4 )- Je 8is que ce produit est égal à

En effet, on peut écrire

Qu’on laisse ou qu’on enlève les parenthèses dans le second membre de cette égalité, rien ne sera changé au résultat, puisqu’il faudra toujours former le produit 24 des trois premiers facteurs, et le multiplier ensuite par 35 . On aura donc

Rem.v^que n. Pour multiplier deux produits de plusieurs facteurs, il suffit de former un produit unique avec tous les facteurs de ces deux produits.

Je dis que (3x4X7)x(5Xg) = 3x4x.7X5X9; car, en regardant le premier produit comme effectué et en s’appuyant sur la remarque précédente , le premier membre de l’égalité revient d’abord à(3x4X7)x5x9; et cette dei"nière expression donnera toujours le même résultat, qu’on conserve ou qu’on enlève les parenthèses.

Remarque III. Dans un produit de plusieurs facteurs, on

ARITHMÉTIQUE. 2 g

peut en remplacer jtn nombre quelconque par leur produit effectué.

Soit 2 X 7 X 5 X 4 X 9 - On pourra remplacer les facteurs 7 et 4 par leur produit 28 et écrire

En effet, on a

Kemabql'e IV. Pour multiplier un produit de plusieurs far- ' teurs par un nombre, il suffit de multiplier l’un des facteurs du produit par ce nombre. '

Soit ( 2 x 8 x 7 ) X 5. Je dis qu’on pourra écrire

On a, en effet, d’après la remarque III :

(2X3X7)x5=2X3X7X5=2Xi5X7.

Théorèmes relatifs à la division.

68 . I. Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise le dividende et le diviseur d’une division par un même nombre , le quotient ne chanf'e pas et le reste est multiplié ou divisé par le même nombre.

Soit 38 à diviser par 5. On trouve pour quotient 7 et pour reste 3. On peut donc écrire (61) :

Multiplions les deux membres de cette égalité par 2 , par exemple. Il viendra :

Pour multiplier le produit 5X7 par 2 , on peut multiplier le facteur 5 par 2 (67, IV), et écrire

De plus, le reste 3 étant plus petit que le diviseur 5, on aura nécessairement 3 X 2 <( 5 x 2 . L’égalité ( 2 ) signifie alors que le produit 5 X 2 est contenu 7 fois dans le produit 38 x 2 , avec \in reste 3 X 2 ; c’est ce qu’il fallait établir.

Si l’on a au contraire

38X2=(5X2)X7-)-3x 2 , ou 76 = 10 x 7 - 1 - 6 ,

3o ARlTnXÉTIQVE.

on en déduit immédiaiemeni (63 )

les deux parties du théorème sont donc vérifiées.

Remarque. Il est évident que le reste étant supposé nul, si l’on multiplie ou si l’on divise le dividende seulement, le quotient est multiplié ou divisé par le même nombre; et si l’on multiplie ou si l’on divise le diviseur seulement, le quotient est divisé ou multiplié par le même nombre (44).

69. II. Pour diviser un produit de plusieu'rs facteurs par l'un de ses facteurs, il suffit de supprimer ce facteur.

Soit (3 X 5 X 7);5. Le quotient sera bien égal à 3 X 7 ; car le dividende 3x5x7 contient le diviseur 5 un nombre de fois représenté par 3X7, puisqu’on peut écrire ‘

Il suit de là que, pour diviser un produit de plusieurs fac~ teurs par un nombre, il suffit de diviser l’un des facteurs du produit par ce nombre, lorsque cette division est possible exactement.

Soit (17 X 28 X 5);4. De même qu’on peut remplacer deux facteurs 4 7 P®*" l^ur produit effectué 28 (67, III), on peut

remplacer 28 par les deux facteurs 4 et 7. On a alors

(17X4X7X 5 ) :4 = 17x7x5, ce qu’il fallait établir.

70. III. Pour diviser un nombre par un produit de plusieurs facteurs, la division étant supposée exacte , on peut diviser ce nombre par le premier facteur, le résultat obtenu par le second facteur, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ait épuisé tous les facteurs.

Soit 38o:38. Le quotient sera égal à 10, et l’on aura 38o = 38x to.

38 étant égal à 2 x 19, on pourra écrire

Si l’on divise les deux membres de cette égalité par 2, on aura 38 o *.2 = 19X 10,

car 2 étant facteur du second membre, pour diviser ce second membre par 2, il suffira de supprimer 2 (69). Divisons par 19' les deux membres de la nouvelle égalité, nous aurons

ARITHMÉTIQUE. 3l

Le quotient reste donc le même, qu’on divise par 38 ou, sitccessivemenl , par les facteurs de 38; l’ordre des divisions partielles est d’ailleurs indifférent (*).

Des puissances.

71. On appelle puissance A' un nombre, le produit qu’on obtient en prenant ce nombre plusieurs fois comme facteur.

On dit que la puissance est une puissance /n“~, lorsque le nombre est pris m fois comme facteur : m est alors le degré de la puissance.

On appelle, en particulier, carré la seconde puissance et cube la troisième puissance d’un nombre.

72. On indique le degré de la puissance au moyen de Yexposant : l’exposant est un nombre égal au degré de la puissance, qu’on écrit sur la droite et un peu au-dessus du nombre élevé à la puissance.

Ainsi, on indiquera que 5 est élevé à la puissance i3, en écrivant 5".

(*) Si ladirUion ne s'elTecbiaU pas exactement, les deux procédés conduiraient encore au même quotient, mais les restes définitifs ne seraient pas les mêmes. Si l'on divise 385 par 38, le quotientest lo et le reste 5. Si l'on divise 385 par a, le quotient est iqs et le reste i ; si l'on divise ce quotient par ig, le quotient définitif est encore lo, mais le dernier reste est égal à a.

Désignons en effet, d'une manière générale, par Die dividende, par d le diviseur, par a et i les facteurs qui le constituent. Si l'on divise directement D par </, on obtiendra un certain quotient Q et un reste R. On pourra donc écrire

D = dQ-t-R.

Si l'on divise au contraire D par a, puis le quotient f obtenu par b, on obtiendra un dernier quotient f ' : il faut prouver que f ' =: Q. Désignons par r et r' les restes des deux divisions successives, on pourra poser les deux égalités

D = fl? -h r, qz=bq'

Si l'on substitue à f sa valeur, il vient

D = a -i-r ou D = aiy'-(-ar'-(-r.

a/ est au plus égal k ab — a, puisque r' est au plus égal à & — i et r est plus petit que a; la somme ar'-t- r est donc inférieure à ab. Ceci posé, l’égalité

D = abq' ar'-t- r

prouve que le plus grand nombre de fois que D contient ab = d est y'; l'égalité

D = dQ-4-R

prouve que ce plus grand nombre de fuis est Q; on a dune bien Q. On voit en même temps que, puisqu'on a nécessairement

R = ar' r,

le dernier reste r' est toujours intérieur au resta R.

La notion de l’exposant csfcxtrèniement importante, et son emploi facilite beaucoup les calculs.

Par analogie, on dit que 5 est la première puissance de 5 : on n’écrit pas l’exposant i.

Les opérations sur les puissances se ramènent à des opérations plus simples sur les exposants de ces puissances.

73. I. Pour multiplier deux puissances d’un même nombre, il suffit d'ajouter leurs exposants.

Soit 7 ’X 7 *. Je dis que le résultat cherché est égal à f-*-' ou 7 *. En effet, 7 ’ représentant le produit de trois facteurs égaux à 7 et 7 ’ le produit de deux facteurs égaux à 7 , le produit 7*X 7 ’ renfermera 5 facteurs égaux à 7 .

Ik. IL II suit de là que, pour élever une puissance à une autre puissance, il suffit de multiplier les exposants des deux puissances.

Soit 7 ’ à élever au cube, ce qu’on indiquera ainsi: { 7 ’)’. Il faudra faire le produit de trois facteurs égaux à 7 ’, ce qui reviendra à ajouter trois fois l’exposant 2 . On aura donc

75. III. 11 suit de là encore que, pour diviser deux puissances d’un même nombre, il suffit de retrancher leurs exposants.

Soit 7 * 17 ’. Puisqu’on a

on aura aussi

d’où

76. IV. Enfin, pour élever un produit à une puissance, il suffit d’élever tous ses facteurs à cette puissance.

Soit le produit 5 X 7 ’ X 4 “ élever au cube. On aura

On peut enlever les parenthèses (67, II) et remplacer autant de facteurs qu’on voudra par leur produit effectué (67, III). En réunissant les facteurs 5, les facteurs 7 ’ et les facteurs 4. on pourra donc écrire

77. Extraire la racine m'*"' d’un nombre , c’est chercher un nombre qui, élevé à la puissance reproduise le nombre donné.

Pour terminer ce qui a rapport au calcul proprement dit, il faudrait exposer l’opération inverse de l’élévation aux puis-

sances, au moins dans ses deux cas les plus simples. Mais, pour ne pas trop nous écarter des habitudes de l’enseignement, nous renverrons l’étude de l’extraction des racines carrée et cubique au livre IV.

Nous ferons seulement remarquer que nous avons été successivement conduits à la considération de six opérations'particulières sur les nombres, opérations qui n’ont jamais pour but que la composition et la décomposition de ces nombres. Les nombres se composent au moyen de l’addition, de la multiplication et de l’élévation aux puissances. Dans la multiplica tion les nombres à ajouter sont égaux ; dans l’élévation aux puissances, les facteurs employés sont égaux. Les nombres se décomposent au moyen de la soustraction , de la division , de l’extraction des racines. Dans la division, les nombres à soustraire sont égaux; dans l’extraction des racines, les facteurs qui, par leur produit, doivent reconstituer le nombre donné sont égaux. Les trois premières opérations ont pour inverses les trois dernières.

, 78. Nous devons maintenant nous occuper des propriétés des nombres, mais seulement sous le point de vue du calcul. L’ensemble de ces propriétés constitue une branche très-étendue des mathématiques, qui porte le nom de théorie des nombres : le livre suivant aura pour objet l’élude de ses principes les plus élémentaires.

iniTHUÉTIQUE.