IL Les quotients de deux nombres divisés par leur plus

grand commun diviseur sont premiers entre eux. ■ -

En effet, en divisant deux nombres par leur plus grand commun diviseur, on divise cq plus grand commun diviseur par

seurs communs oni, en particulier, le même plus grand commun diviseur. On pourra donc simplifier la question de proche en proche , et elle sera ramenée rinalemcnt à chercher le plus grand commun diviseur de deux uombres. Ainsi, dans l'exemple donné, on cherchera le plus grand commun diviseur des nombres a/6 et 12, qui sera la; et enfin, le plus grand commun diviseur des nombres 67201 la, qui sera encore la : la sera le plus grand commun divi-> scur des nombres donnés.

On a intérèià commencer le calcul en opérant sur les plus petits nombres, car il pourrait arriver que le plus grand commun diviseur fut égal au plps petit des nombres donnés. En prenant cotte précaution, on diiniiiuera généralement le nombre des divisions à effectuer.

Il est évident que tout commun diviseur de plusieurs nombres di>iso leur plu.s grand commun diviseur.

44 ' AaiïHMÉTlQliE.

lui-même ( 90 ), de sorte que le plus grand commun diviseur des deux quotients obtenus est l’unité.

La réciproque de ce théorème est évidente (*).

102 . En Arithmétique, l’utilité de la théorie que nous venons d’exposer est bornée à la recherche des quotients de deux nombres par leur plus grand commun diviseur. 11 est donc utile d’indiquer une règle pour trouver rapidement ces quotients, au moyen de l’opération même qui fournit le plus grand commun diviseur.

Reprenons encore l’exemple du n“ 96 . 12 se contient luimême I fois : j’écris i au-dessous de 12. 36 contient 3 fois 12, . j’écris 3 au-dessous de 36 . 120 contient 3 fois 36 -|-i 2 , c’est-àdire un nombre de fois 12 représenté par 3 x 3 -|-t ou 10 : j’écris 10 au-dessous de 120. On voit qu’il faut, pour obtenir ce résultat, multiplier le résultat précédent 3 par le quotient qui est placé au-dessus, et ajouter à ce produit le nombre 1 placé à droite de 3 . 276 contient 2 fois 120 plus 36 , c’est-àdire un nombre de fois 12 représenté par 10 X 2 -I - 3 ou 23 : j’écris 23 au-dessous de 276. Ce résultat s’obtient encore en multipliant le précédent par le quotient 2 placé au-dessus, et en ajoutant au produit le résultat anté-précédent. Enfin , 672 contient 2 fois 276 plus 120, c’est-à-dire un nombre de fois 1 2 représenté par 23 X 2 1 o ou 56 : j ’écris 56 au-dessou s

de 672. Les quotients cherchés sont 56 et 23 .

On voit sans peine la règle à suivre. avoir écrit 1 sous

le plus grand commun diviseur, et le quotient qui lui correspond, à gauche de i, il faut multiplier successivement le der-

(’) Dans I énonce d’un ihcoréine, il y a toujours une hypothèse et une conclusion ; la démonstration a pour but do passer de l'hypothèse à la conclusion, il l’aide d’une série do déductions évidentes. Le théorème réciproque s’obtient en prenant la conclusion du théorème direct pour hypothèse, et l’hypothèse de ce théorème pour conclusion. Dans le cas considéré, l’hypothèse du théorénac direct est que l’on divise doux nombres par leur plus grand commun diviseur, la conclusion est que les quotients obtenus sont premiers entre eux. Le théorème réciproque s'énoncera en disant : Si l’on divise deux nombres par un troisième nombre et que les quotients obtenus soient premiers entre eux, le troisième nombre est le plus grand commun diviseur des deux premiers. Les réciproques ne sont pas toutes vraies, parce que l’hypotlièse et la conclusion n'ont pas toujours le même di’grédc généralité: nous en verrons dcs-cxemples en Géométrie.

ARITHMÉTIQVE. 4^

nier résultat obtenu par le quotient qui est au-dessus et ajouter au produit l'avant dernier résultat. On trouve ainsi la série des quotients des restes consécutifs et des deux nombres proposés par leur plus grand commun diviseur.