II. l ’n nombre quelconque n’est décomposable que
d’une seule manière en facteurs premiers. ,
Supposons que le nombre N soit égal à la fois aux deux sys- j
tèmes de facteurs premiers abcd et a'b'c'd' . Nous allons prou- ^
ver que ces deux sy.stèmes sont forcément identiques. En effet, on aura i
abcd = a'b'c'd'. |
a divisant le premier membre, devra diviser le second ; mais a !
étant un nombre premier devra diviser au moins l’un des fac- «
teurs du produit a'b'c'd' , et comme tous ces facteurs sont pre- |
miers, il ne pourra diviser l’un d’eux que si ce dernier lui est ]
égal (108). i j
5o ARITHMÉTIQUE.
Supposons a — a'. On poiirni diviser le premier membre de l’égalité considérée par fl et le second para' : il restera
hcd = b'c'd'.‘
On pourra répéter pour b ce qu’on vient de dire pour a, et l’on prouvera qu’on a, par exemjde, b — b'. En continuant le même raisonnement, on démontrera que tous les facteurs du premier système se retrouvent parmi ceux du second, et réciproquement.
llemarquons que le raisonnement indiqué n'exclut pas le cas où quel(iues-uns des facteurs du premier système sont égaux entre eux ; mais alors ils se ri'pètent en même nombre dans l’autre système.
I.(‘s deux systèmes considérés sont donc identiques, nonseulement quant aux facteurs qui les composent, mais encore quant aux exposants de ces facteurs.
114. III. Décomposition d'un nombre en ses facteurs premiers. Ceci posé, prenons pour exemple le nombre 5425a.
Nous commencerons par essayer la division de ce nombre jiarle plus petit nombre premier après i, c’est-à-dire par a. Elle réussira, puisque le nombre proposé est pair. On obtient pour quotient 27126, et l’on a
Les facteurs premiers de 54a52 sont donc 2 et les facteurs premiers de 27126. Essayons de nouveau la division de 27126 par 2. On trouve pour (piotient i3563, et l’on a
c’est-à-dire
La question est donc ramenée à chercherles facteurs premiers de i3563. La division par 2 ne pouvant réussir, il faut essayer la division par le nombre premier suivant, c’est-à-dire par 3 : elle réussira, puisque la somme des chiffres de i3563 est divisible par 3. On trouve pour quotient 4621, et l’on a
c’est-à-dire
La question est ramenée à chercher les facteurs premiers de 4521. Lorsqu’on a cessé d’employer un diviseur, on n’a plus besoin d’y revenir. Ainsi 4^21 ne saurait être divisible |iar 2, puisque, sans cela, son multiple i3563 l’aurait été. 4521 est encore divisible par 3, et l’on trouve pour quotient 1607. On a
donc
AHITHMÉTIQUK.
c’esl-à-dirc
La question est ramenée à chercher les facteurs premiers de 1507. i5o 7 n’est plus divisible par 3 , ni par 5 puisqu’il est terminé par un 7, ni par 7. Il faut essayer la division par 1 1 : elle réussira, puisque l’excès de la somme des chiffres de rang impair sur la somme des chiffres de rang pair est égal à 1 1 . On trouve pour quotient 137, et l’on a
c’est-à-dire
54252 = 2 X 2.x 3 x 3 X II X 137.
La question est ramenée à chercher les facteurs premiers de 137. 137 n’étant plus divisible par 1 1, il n’est pas nécessaire d’essayer la division par i 3 . Le carré de i 3 ou ibg étant supérieur à 137, on peut affirmer que 137 est un nombre premier. En effet, 137 n’étant divisible par aucun des nombres premiers dont les carrés sont plus petits que 137, ne sera divisible par aucun des nombres premiers, dont les carrés sont plus , grands ( 106 ).
La décomposition se trouve donc terminée et l’on a 54252 = 2X 2 x 3 x 3 xi iXi 37 ou 54252 = 2 ’x 3 ’x 11X137. Voici comment on indique habituellement le calcul :
