PROPRIÉTÉS DES FRACTIONS

123. Jusqu’ici nous avons considéré les nombres entiers, c’esl-à-dire le cas où l’unilé choisie est contenue exactement dans la grandeur à mesurer (2).

Si cette condition n’est plus remplie, il j>eut arriver qu’une certaine partie aliquote de l’unité (c'est-à-dire contenue exactement dans l’unité) soit elle-même comprise exactement dans la grandeur qu’on veut évaluer. On dit alors que le rapport de la grandeur à son unité, ainsi que le nombre qui représente ce rapport, soni fractionnaires.

Si la septième partie de l’unité est renfermée a3 fois dans la grandeur à mesurer, on dit que cette grandeur est égale aux a3 septièmes de l’unité, ; a3 septièmes, surpassant l’unité qui vaut 7 septièmes, est un nombre fractionnaire.

Si la septième partie de l’unité est renfermée 5 fois dans la grandeur à mesurer, on dit que cette grandeur est égale aux 5 septièmes de l’unité : 5 septièmes, tombant au-dessous de l’unilé, est \\n& fraction proprement dite.

Les mêmes règles de calcul s’étendent d’ailleurs aux nombres fractionnaires et aux fractions, et l’on ne doit établir entre eux aucune distinction.

On peut définir une fraction, une on plusieurs parties égales de l’unité.

124. Pour exprimer une fraction, il faut deux nombres, qui sont les termes de la fraction : l’un, appelé dénominateur, indique en combien de parties égales il a fallu diviser l’unité; l’autre, appelé numérateur, indique combien on a dû prendre de ces parties.

Pour écrire une fraction, on écrit le dénominateur au dessous du numérateur, et on les sépare par un trait horizontal ;

23 septièmes, 5 septièmes, s’écrivent — » — '

On énonce une fraction en énonçant successivement ses

6o AraTIlMÉTlQUE.

deux ternies, et en faisant suivre l’énoncé du dénominateur de la terminaison ième, excepté lorsque ce dénominateur est / 17-3

a, 3 ou 4- On énonce les fractions-, y, en disant : un demi,

deux tiers, trois quarts.

Une fraction est plus grande ou plus petite que i, c’est-à-dire qu’elle est un nombre fractionnaire ou une fraction proprement dite, suivant que son numérateur est plus grand ou plus petit que son dénominateur. Elle représente l’unité, lorsque son numérateur et son dénominateur sont égaux.

125. On peut convertir un entier en fraction de dénominateur donné. ^

Soit 3 à convertir en septièmes. Chaque unité valant 7 sep-

tièmes, 3 unités vaudront 21 septièmes et l’on aura 3 = —

On doit donc multiplier l’entier par le dénominateur donné, et donner au produit ce dénominateur.

11 en résulte que tout nombre entier peut être regardé comme une fraction dont il est le numérateur et qui a pour dénominateur l’unité. On a

ou

(^ette remarque est importante, parce qu’elle permet d’étendre immédiatement les théorèmes concernant les fractions au cas où quelques-unes de ces fractions seraient remplacées par des nombres entiers.

126. Une expression fractionnaire étant donnée, on peut extraire les entiers quelle contient.

Soit -1 — Autant de fois cette expression renferme 9 neuvièmes, c’est-à-dire autant de fois 43 contient 9, autant elle renferme d’entiers. 43 contenant 4 fois 9 avec un reste 7, on peut

écrire — = 4 -H -• On doit donc diviser le numérateur par le 9 9.

dénominateur : le quotient représente les entiers demandés, et le reste est le numérateur de la fraction complémentaire. Réciproquement, si l’on donne une expression telle que

4+-> ou peut réduire les entiers en fraction ajant aussi

9 pour dénominateur et écrire