De deux fractions ayant même dénominateur, la plus
A.HiTHMÉTIQL'E. 6l
grande est celle qui a le plus grand numérateur, puisqu’elle eoiitient plus des mêmes parties de l’uiiilé.
De deux fractions ayant même numérateur,’ la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur, puisqu’elle conlieni. le même nombre de parties plus grandes de l’unité.
128. Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise le numérateur d' une fraction par un certain nombre, on multiplie ou l’on divise la valeur de Infraction par ce nombre.
^ est une fraction 3 fois plus grande que -> puisqu’elle 7 7
renferme 3 fois plus de septièmes. A son tour, - ou — ^ — est
une fraction 3 fois plus petite que — •
129. Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise le dénominateur d’ une fraction par un certain nombre, on divise ou l’on multiplie la valeur de la fraction par ce nombre.
— est une fraction a fois plus petite que -• En effet, si
l’on divise l’unité, en 7 parties, puis en i4 parties égales, chaque septième contiendra 2 quatorzièmes; en d’autres termes, les quatorzièmes sont 2 fois plus petits que les septièmes.
A son tour, - ou ^ est une fraction 2 fois plus grande
que
130. - On ne change pas la valeur d’une fraction lorsqu’on multiplie ou qu’on divise ses deux termes par un même nombre.
Soit la fraction — Les deux fractions - et seront
toutes les deux 3 fois plus petites que la fraction > c’esl-
à-dire qu’elles seront égales.
11 résulte de là qu’une valeur fractionnaire donnée est susceptible d’une infinité d’expressions. On a
•X — JT — - P — —y? etc.
Théorie des fractions irréductibles.
131. Une fraction est irréductible, lorsque sa valeur ne peut pas être exprimée en termes plus simples : on dit alors qu’elle est réduite à sa plus simple expression.
6a ARtTHMÉTIQUE.
n esl évidenl qu’une (■rdcUoii irréducüble doit avoir scs deux termes premiers entre eux; car, sans cela, on pourrait diviser ses deux termes par leur plus grand commun diviseur, sa valeur ne changerait pas, et elle serait exprimée en termes plus simples.
Mais il n’est pas évident qu’une fraction dont les deux termes sont premiers entre eux, soit irréductible; car on ne sait pas à priori si, en diminuant les deux termes de cette fraction dans un certain rapport, on ne pourra pas obtenir une fraction égale et plus simple. Il faut donc démontrer le théorème suivant.
132. Toutes les fractions égales à une fraction dont les termes sont premiers entre eux, s’obtiennent en multipliant les deux termes de cette fraction par un même nombre.
Soit la fraction - dont les termes sont premiers entre eux, et
soit la fraction ^ qui lui est égale. Multiplions les deux termes
de chaque fraction par le dénominateur de l’autre; elles resteront égales, et l’on aura
5xb aX’]
Les dénominateurs étant égaux, les numérateurs le seront (127), et l’on aura
5 X 6 = rt X 7 .
5 divisant le premier membre de cette égalité, divisera le second ; de plus, 5 étant premier avec 7 , devra divisera (107). Si q est le quotient de cette division, on aura
a = 5Xq.
Il en résulte
c’est-à-dire, en divisant les deux membres de l’égalité par 5 ,
b=TXq.
On a donc bien
a 5xq
ixq ■
^ représentant la valeur - moins simplement que -» cette fraction est, par suite, réduite à sa plus simple expression, elle est irréductible.
Ainsi, pour réduire une fraction à sa plus simple expression, il faut rendre et il suffit de rendre ses deux termes premiers
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entre eux. On y arrivera , en divisant les deux termes de la fraction par leur plus«grand commun diviseur (101 ).
TQQ
133 . Soit, par exemple, à réduire la fraction On cherchera le plus grand commun diviseur des nombres 799 et 2961;
et en employant l’algorithme indiqué (102), on trouvera que
la plus simple expression de la fraction
Souvent, dans la pratique, on évite la recherche du plus grand commun diviseur, en supprimant dans les deux termes de la fraction proposée tous les facteurs communs qu’on y
aperçoit. Soit la fraction Si l’on divise haut et bas par 10,
il vient Si l’on divise haut et bas par 2, il vient — • Enfin, •9« 99
en divisant haut et bas par 1 1 , on trouve la fraction irréduc-
tible -•
La réduction des fractions à leur plus simple expression a une grande importance. On simplifie les calculs, en opérant sur des fractions irréductibles, et l’on juge mieux de la valeur des quantités considérées.
134 . Deux fractions irréductibles égales sont identiques; car chacune doit être obtenue en multipliant les deux termes de l’autre par un même nombre ( 132 ), qui ne peut, dans ce cas, être que l’unité.
Réduction des fractions au même dénominateur et au plus petit dénominateur commun.
133 . Pour po'uvoir comparer des fractions, il faut qu’elles aient même dénominateur ou même numérateur ( 127 ). L’usage est de les réduire au même dénominateur. •
Si l’on opère sur deux fractions, il suffit de multiplier les deux termes de chaque fraction par le dénominateur de l’autre ; elles ont alors toutes deux pour dénominateur le pro-
duit des dénominateurs
primitifs. Soient les fractions^ et
64 Arithmétique.
réduites au même dénominateur, elles deviendront
c’est-à-dire
Si l’on opère sur plus de deux fractions, il suffit de multiplier les deux termes de chaque fraction par le produit 'des dénominateurs de toutes les autres; elles ont alors pour dénominateur commun le produit de tous les dénominateurs primitifs.
Soient les fractions^?
— Réduites au même dénomi-
nateur, elles deviendront':
c’est-à-dire
4x 3X7Xi I 5x3X7Xi I ’
ii55’ ii55’
6x3x5Xi I
7X3x5Xi 1
8x3x5X7 I iX3x5X7’
136. Lorsque les dénominateurs des fractions proposées sont premiers entre eux, on ne peut pas suivre une autre marche; dans le cas contraire, on peut réduire ces fractions à leur plus petit dénominateur commun.
11 faut d’abord supposer ces fractions irréductibles. On ne pourra alors transformer chacune d’elles sans changer sa valeur, qu’en la multipliant haut et bas par un certain nombre (132). Dès lors le dénominateur commun qu’on leur donnera à toutes, quel qu’il soit, sera divisible par tous les dénominateurs primitifs, puisqu’il les contiendra comme facteurs, c’est-à-dire qu’il en sera un commun multiple. Si l’on veut avoir le plus petit dénominateur commun, il faut donc cbercher le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions proposées. Il est évident qu’on pourra bien donner ce plus petit commun multiple comme dénominateur à toutes les fractions considérées ; car il suffira pour cela de multiplier les deux termes de chacune d’elles par le quotient obtenu en divisant par son dénominateur le plus petit commun multiple (*).
( ’* ). Si les fractions données n’étaient pas préalablement réduites à leur plus simple expression, la règle indiquée ne conduirait pas toujours au plus petit dénominateur commun. En effet, tous les termes des fractions proposées pourraient alors admettre un facteur commun que la réduction au même dénominateur ne ferait pas disparaître; cc facteur commun supprimé, les fractions conserveraient un même dénominateur, plus petit que le précédent.
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■ Proposons-nous, par exemple, de réduire au plus petit dénominateur commun les fractions
Q g * Ces fractions,
réduites à leur plus simple expression, deviendront
Je décompose les dénominateurs en leurs facteurs premiers, et j’obtiens :
Leur plus petit commun multiple sera 2’ X 3’ X 5’ X 7 ou 63oo. Je divise maintenant le plus petit commun multiple par les dénominateurs: ce qu’on doit faire en supprimant parmi les facteurs de ce plus petit commun multiple ceux qui appartiennent au dénominateur considéré. Ici on aura pour quotients successifs i4o, 25, 36. 11 faudra donc multiplier haut et bas la première fraction par i40) la seconde par 25, la troisième par 36. On obtiendra
63oo’ 63oo’ 63oo
On dispose ordinairement le calcul comme ci-dessous.
Fractions
proposées,
Quotients du P. P. C. M. par les différents dénominateurs*
Fractions
réduites.
Décomposition des dénominateurs en facteurs premiers.
63oo
63oo
63oo
LO
P. P. C. M. = 2= X 3’ X5’ X 7 =63oo.
Théorèmes sur les fractions.
137. I. Lorsque plusieurs fractions sont égales, en les ajoutant terme à terme, on obtient une fraction égale à chacune des fractions proposées.
Soient les fractions %;> — > qui sont égales. Réduites à o5 63 77
leur plus simple expression, elles conduiront à la même fraction irréductible; car des fractions irréductibles égales sont identiques (134). Dès lors, chacune représentera cette fraction
irréductible- multipliée haut et bas par un certain nom-
66 arithmétique.
bre (132), el l’on pourra écrire :
a 5 5 x 5 45 SXg 55 5 xii
35~7X5’ 63 ~ 7 Xg’ 77 7X11
On aura donc
C’est-à-dire que la fraction obtenue en ajouunt toutes les fractions données terme à terme, conduit à la même fraction irréductible que ces fractions, lorsqu’on la réduit aussi à sa plus simple expression : elle estdonc égale à chacune des proposées.
On démontrerait de même que si deux fractions sont égales et qu’on les retranche terme à terme, on obtient une fraction égale à chacune d’elles.
138. II. Lorsqu'on ajoute terme à terme deux fractions inégales, la fraction obtenue tombe entre les deux fractions pro-' posées.
Soient les
fractions -7 et —
je dis que la fraction
tombera entre ces deux fractions. Il faut prouver d’abord que l’on a
ce qui revient à prouver que si l’on réduit ces deux fractions au même dénominateur, le numérateur de la première sera le plus petit, et qu’on aura
■ 3X ( 4 -H 7 ) <(3 + ii) X4 ou
3x4 + 3X7<C3x4 + hX4.
Si l’on néglige la partie commune 3 X 4 » ü fsu'- montrer qu’on a
ou, en donnant à ces deux produits le même dénominateur 4 X 7 , qu’on a
c’est-à-dire, en simplifiant.
condition que suppose précisément l’énoncé.
. Ou prouvera absolument de la même manière que l’on a au contraire
3 + ir 11
11 résulte immédiatement de là que, si l’on a plusieun fractions inégales et qu’on les ajoute terme à terme, la frhetion obtenue sera comprise entre la plus grande et la plus petite des fractions données.
Soient les fractions inégales 7 ) -» — » rangées par ordre de
grandeur. D’après ce qui précède, la fraction tombera
entre les fractions 7 et -» et les fractions 7 » 7 , -, — ,
seront rangées par ordre de grandeur. Si l’on ajoute terme à
terme les fractions et — , la fraction sera com-
prise entre elles deux : elle sera donc plus grande que la fraction I et plus petite que la fraction -y ■
139. III. Lorsqu’on ajoute une même quantité aux deux termes d’une fraction , elle augmente ou diminue suivant qu’elle est plus petite ou plus grande que i; dans les deux cas, elle se rapproche de l’unité. ,
Lorsqu’on retranche une même quantité aux déux termes d’une fraction, elle diminue ou augmente suivant quelle est plus petite ou plus grande que i ; dans les deux cas, elle s’éloigne de l’unité.
Soit la fraction -• Ajoutons à ses deux termes une quantité
quelconque m. Nous aurons la fraction Remarquons
qu’on peut mettre l’unité sous la forme d’une fraction dont les deux termes sont égaux (124) et poser i = ™ Dés lors, on
