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peut regarder la fraction -y ^ comme ayant été obtenue en

ajoutant terme àterme les fractions - et cette fraction, toujours plus petite que i , est donc plus grande que la fraction - (138).

aththmétiqtie.

Réciproquement, la fraction - est plus petite que la frac-

5 4- m tion

Soit la fraction ^ plus grande que i. On pourra regarder la fraction ^ comme ayant été obtenue en ajoutant terme à terme les fractions g cette fraction, toujours plus grande

que I, est donc plus petite que la fraction g (138).

Réciproquement, la fraction g est plus grande que la frac-

tion

Remarque. — Il est utile de remarquer qu’à mesure que la quantité ajoutée aux deux termes de la fraction augmente, cette fraction approche de plus en plus de l’unité sans jamais pouvoir l’atteindre, puisque les deux termes de la fraction résultante ne peuvent jamais devenir égaux.

Quand une quantité variable d’une manière continue converge ainsi vers une quantité fixe, la quantité fixe s’appelle la limite de la quantité variable. L’unité est ici la limite commune des séries croissantes qu’on obtient en partant d’une fraction quelconque plus petite que i, et des séries décroissantes ^u’on obtient en partant d’une fraction quelconque plus grande que i .

La considération des limites est extrêmement importante en mathématiques; nous en verrons beaucoup d’autres exemples.

IW. IV. Moyenne arithmétique. On appelle en général moyenne de plusieurs quantités une quantité comprise entre la plus grande et la plus petite des quantités données, et formée à l’aide de ces quantités.

Si l’on a plusieurs nombres 67, 72, q3, on peut les considérer comme des fractions ayant pour dénominateur l’unité. Si

l’on ajoute terme à terme ces fractions —» ^5 la fraction