Soil le produit de plusieurs fractions ^ X - X ^ X -g

Cette expression signifie qu’il faut multiplier la première fraction par la seconde, le résultat obtenu par la troisième, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ait épuisé toutes les fractions. Il est évident (149) qu’on obtiendra 1e résultat définitif en multipliant terme à terme toutes les fractions proposées.

Il faut avoir soin A’ indiquer le résultat avant d’effectuer les calculs, afin de pouvoir supprimer tous les facteurs communs que peut présenter haut et bas la fraction résultante. Reprenons l’exemple donné, on aura ‘

On peut diviser haut et bas par 4, en supprimant le facteur 4 au numérateur et en remplaçant par 2 le facteur 8 du dénominateur. On peut diviser haut et bas par 5, en supprimant le facteur 5 au numérateur et en remplaçant par 7 le facteur 35 du dénominateur. On peut diviser haut et bas par 7, en remplaçant par 6 le facteur 4^ du numérateur et en supprimant l’un des facteurs 7 du dénominateur. Enfin, on peut diviser haut et bas par 6 en supprimant ce facteur au numérateur; au dénominateur, on remplace par compensation le facteur 9 par 3, et l’on supprime le facteur 2. Il reste alors, pour le produit cherché,

... ri • •

la fraction = ou — •

152. Puisque le produit de plusieurs fractions est une fraction qui a pour numérateur le produit de tous les numérateurs, et pour dénominateur le produit de tous les dénominateurs des fractions proposées, il en résulte que ce produit ne change pas, quel que soit l’ordre des facteurs fractionnaires. En effet, le produit des numérateurs reste le même quel que soit leur ordre, et il en est de même du produit des dénominateurs (66).

Le théorème général du changement d’ordre des facteurs est donc vrai, que les facteurs considérés soient tous entiers ou tous fractionnaires , que les uns soient entiers et les autres fractionnaires ; car, dans ce dernier cas , on pourra regarder les facteurs entiers comme des facteurs ayant pour dénominateur l’unité (125). '

153. Pour multiplier des entiers suivis de fractions, on réduit respectivement chaque entier en fraction de même espèce que celle qui le suit, et l’on applique les règles précédentes aux résultats obtenus.

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AniTHMÉTIQlIE.

Soil 8 H — ^ à inulUplier par 5 +-2-. OnréduitSen neuvièmes 9 ' ^ 12

et l’on remplace le multiplicande par la fraction — • On réduit

5 en douzièmes, et l’on remplace le multiplicateur par la frac-

tion — • On a alors

Division.

154. Lu division a pour but, étant donnés un produit appelé dividende et l'un de ses facteurs appelé diviseur, de trouver l’autre facteur appelé quotient.

Cette définition est générale. Elle s’applique aux nombres entiers, lorsque la division s’effectue sans reste; nous allons prouver qu’elle s’étend aussi au cas d’un reste. Soit 38 à diviser par 5. On trouve pour quotient 7 et pour reste 3. 38 est donc compris entre les produits du diviseur 5 par les entiers consécutifs 7 et 8. Dès lors, si la définition peut s’étendre à ce cas , il faut que 38 soit le produit exact du diviseur 5 par un . nombre fractionnaire plus grand que 7 et plus petit que 8.

Je dis, en effet, que le quotient de la division de deux nombres quelconques est une fraction ayant pour numérateur le dividende et pour dénominateur le diviseur. Pour le prouver, reprenons l’exemple proposé et soit 38 à diviser par 5. Si l’on

38 5 xK 38

multiplie le diviseur 5 par la fraction -^‘on obtient — ^ — (130),

c’est-à-dire le dividende 38 : cette fraction est donc bien

le quotient cherché.

Si l’on extrait les entiers contenus dans l’expression 1

c’est-à-dire si l’on effectue la division de 38 par 5 suivant la règle donnée pour les nombres entiers, on aura

La partie entière 7 du quotient complet s’appelle quotient entier des deux nombres 38 et 5 ; le quotient complet 38 3

— ou 7 -I- g s’appelle simplement quotient de ces deux nombres. On voit que, pour compléter le quotient entier, il suffit de lui ajoulcr une fraciinn avant pour numérateur le reste de

la division effectuée suivant la méthode ordinaire, et pour dénominateur le diviseur.

155. Jusqu^ présent nous avons indiqué la division de deux nombres, au moyen du signe ;. Le quotient de cette division étant une fraction ayant pour numérateur le dividende et pour dénominateur le diviseur, le signe : pourra être désormais remplacé par une barre de fraction entre les deux nombres. Ainsi nous regarderons les deux expressions 38 : 5 et

comme équivalentes.

156. Soit maintenant à diviser l’une par l’autre les deux fractions 7 et -• Le dividende ^ doit être égal au diviseur - mul-

tiplié par le quotient ou à ce quotient multiplié par - (150) ;

en d’autres termes , le dividende ^ représente les - du quotient (IW). Dès lors la cinquième partie du dividende, c’està-dire (129), représentera - du quotient; et, par suite,

le quotient tout entier sera égal à la fraction ^ multipliée

par 7 où à ^ (128). On aura donc

Si l’on compare la fraction ^ au diviseur -> on voit qu’elle n’est

que ce diviseur renversé. On arrive donc à cette règle ; Pour diviser deux fractions, on multiplie la fraction dividende par Infraction diviseur renversée.

157. Cette règle est la règle générale, toujours applicable ; mais il est bon, au point de vue théorique, de l’indiquer encore sous une autre forme. En reprenant le même exemple,

on voit qu’il a fallu d’abord diviser par 5 la fraction ^ pour obtenir la septième partie du quotient, et ce premier résultat peut 3 • 5

être mis sous la forme (128) ; il faut ensuite le multiplier

par 7 pour obtenir le quotient qui pourra alors cire représente 3 • 5

par l’expression (129). On peut donc dire aussi : Pour diviser deux fractions, il suffit de les diviser terme à terme (149).

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158. Soit à diviser un entier par une fraction ou une fraction par un entier. On pourra regarder l’entier comme une fraction ayant pour dénominateur l’unité, et la règle sera toujtmrs, pour obtenir le quotient, de multiplier le divideifde par la fraction diviseur renversée.

Soit 4 à diviser par — On aura