x Il
Puissances.
160. Élever une fraction à la puissance m'*"', c’est la prendre m fois comme facteur. Par conséquent, pour élever une fraction à la puissance m''"', il faudra élever ses deux termes à cette puissance (151). Ainsi l’on aura
161. Lorsqu'une fraction est irréductible, toutes ses puissances sont des fractions irréductibles. Car nous avons démontré que lorsque deux nombres sont premiers entre eux, leurs puissances sont premières entre elles (108, 1°).
ABITHMÉTIQVB. 77
Par conséquent, i“ Aucun nombre entier ne peut être égal à une puissance quelconque d’une fraction irréductible ; a” de plus, Lorsqu'une fraction irréductible est une puissance exacte d’un certain degré, ses deux termes sont des puissances exactes
du même degré. Si l’on a la fraction irréductible qui est
un cube parfait, elle ne peut l’être, d’après ce qui précède, que d’une certaine fraction qu’on peut toujours supposer irrcduc-
tible ; cette fraction est ici — On a donc
ia5 /5y f5»
343 “" Wi ~ 17 ’’
La dernière fraction étant irréductible et deux fractions irréductibles égales étant identiques (134), on a
ia5 = 5» et 343 = 7 ’.
Généralisation dés théorèmes relatifs anx opérations.
162. Nous avons déduit précédemment du théorème fondamental sur le changement d’ordre des facteurs, une série de théorèmes très-importants au point de .vue du calcul (67 et suivants). Ayant étendu ce même théorème fondamental au cas des facteurs fractionnaires, nous pouvons regarder tous les autres théorèmes comme démontrés aussi pour ce dernier cas. Nous nous contenterons donc d’en rappeler les énoncés.
Que les nombres considérés soient entiers ou fractionnaires, on pourra dire que :
I®. Pour multiplier ou diviser un nombre par un produit de plusieurs facteurs, on peut multiplier ou diviser ce nombre par le premier facteur, le résultat obtenu par le second facteur, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait épuisé tous les facteurs {&î,i eilO);
2 ®. Pour multiplier deux produits de plusieurs facteurs, on forme un produit unique avec les facteurs du multiplicande et ceux du multiplicateur (67, II) ;
3®. Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut en remplacer un nombre quelconque par leur produit effectué (67,111);
4®. Pour diviser un produit par l’un de ses facteurs, il sujfit de supprimer ce facteur (69);
5®. Pour multiplier ou diviser un produit de plusieurs facteurs par un nombre, il suffit de multiplier ou de diviser l'un des facteurs du produit par ce nombre (67, IV et 69) ;
6 ®. Pour multiplier ou diviser deux puissances d’un même nombre, il suffit d’ajouter ou de retrancher les exposants de ePs puissances (73, 75) ;
7 ’. Pour élever une puissance à une autre puissance, il sujfit de multiplier les exposants de ces puissances ^74) ;
8 ". Pour élever un produit à une puissance, il sujfit d’élever ses facteurs à celte puissance (76).
Des rapports.
163. De même que le rapport de deux grandeurs est le nombre qui mesure la première grandeur lorsque la seconde est prise pour unité (3 et 123), de même le rapport de deux nombres est le quotient de ces deux nombres (155).
Deux rapports sont dits inverses l’un de l’autre, lorsque leur produit est égal à l’unité. On obtient donc le rapport inverse d’un rapport donné, en divisant l’uiiité par ce rapport ou en
renversant le rapport donne. Le rapport^ a pour inverse le rapport -5 7 ou le rapport y a pour inverse le rapport -•
164. Il est très-important de remarquer que le rapport de deux grandeurs est toujours égal au rapport des nombres qui les mesurent respectivement, l’unité choisie n’étant plus l’une des deux grandeurs, mais une troisième grandeur quelconque.
Soient deux grandeurs représentées, eu égard à l’unité choi-
sie, par les nombres -7 et — Cherchons le rapport de ces deux
grandeurs, c’est-à-dire le nombre qui mesure la première grandeur lorsque la seconde est prise pour unité. Remarquons
que la seconde grandeur étant égale au - de l’unité quel-
conque, cette unité a soh tour est égale aux g de cette seconde
grandeur. Dès lors la première grandeur, qui est égale
de la même unité, est égale aussi aux^des^de la seconde
grandeur. Cette seconde grandeur devenant l’unité adoptée,
la première grandeur sera donc mesurée par le nombre
J Xg (148), c’est-à-dire par le rapport - (156).
Lorsqu’on aura à comparer des grandeurs, à chercher leur rapport, il suffira par conséquent de comparer les nombres qui les mesurent, de chercher le rapport de ces nombres.
