On peut toujours mettre le rapport de deux nombres

fractionnaires sous la forme d’une fraction proprement dite, c’est-à-dire à termes entiers. *

Soit, par exemple, le rapport g, par extension, on dit

est le numérateur et que - est le dénominateur de ce rap-

port (154).

Nous savons que, pour diviser deux fractions l’une par l’autre, il faut multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée (156) ; on aura donc

S’il s’agissait du rapport on convertirait 8 en cin-

quièmes et 3 en septièmes. On aurait alors

Il résulte de cette remarque que toutes les propriétés des fractions et les règles qui résument leur calcul, s'étendent aux rapports quelconques, c’est-à-dire aux fractions à termes fractionnaires. Nous ne donnerons qu’un seul exemple du mode de démonstration à employer.

Prouvons qu’on ne change pas un rapport^en multipliant

ses deux termes par une même quantité. Soit le rapport

a et 5 étant deux fractions. Désignons par q le quotient de ces deux fractions. On aura, d’après ce qui précède,

^ = Ç ou a = bXq.

Multiplions par m les deux membres de cette égalité, m étant une quantité quelconque entière ou fractionnaire ; on aura

aXmz=bXmXq, d’où

b X ni ^ b

Nous rappellerons les principaux théorèmes démontrés sur les fractions, en les appliquant aux rapports.

8o ARITHMÉTIQUE.

1 °. On ne change pas la valeur d'un rapport en le multipliant ou en le divisant haut et bas par un même nombre (130) ;

7°. Si l’on a une suite de rapports égaux, et qu’on les ajoute terme à terme, on obtieht un rapport égal à chacun des rapports proposés (137) ;

3”. Pour multiplier ou diviser un rapport par un nombre, on multiplie le numérateur ou le dénominateur du rapport par ce nomtre (128, 129) ;

4”. Pour multiplier plusieurs rapports, on les multiplie terme à terme ( 151 ) ;

5°. Pour diviser deux rapports l’un par l’autre, on multiplie le premier rapport par l’inverse du second rapport (156) ;

6 ". Pour élever un rapport à une puissance, on élève ses deux termes à cette puissance (160).

inCERCICES.