Soit maintenant à multiplier les deux nombres

32,51369825 et 4 o>9'*3o68i

dont le produit exact est

Supposons qu’on demande ce produit seulement avec trois décimales, c’est-à-dire jusqu’au chif,*'re'des millièmes.

On écrira alors les chiffres des unités du multiplicateur (ce chiffre peut être o) sous le chiffre du multiplicande qui représente des unités cent fois plus faibles que celles tpi’on veut conserver au produit, c’est-à-dire dans le cas considéré sous le ctiiffre des cenf-millièmes; puis, on renversera les chiffres du

AdlTHMÉTIQUE. 87

muUiplicateur à droile et à gauche du chiffre des unités. De cette manière, le chiffre des dizaines du multiplicateur se trouvera sous le chiffre des millionièmes du multiplicande, tandis que le chif(/’e des dixièmes se trouvera sous celui des dix-millièmes, etc.

Il résulte de cette disposition que le produit d’un chiffre quelconque du multiplicande par le chiffre du multiplicateur placé au-dessous, représentera des cenl-mitliènuts ; car la valeur relative des chiffres du multiplicande devenant de dix en dix fois plus petite, celle des chiffres correspondants du multiplicateur devient de dix en dix fois plus grande, et inversement.

Si l’on a soin alors de multiplier le multiplicande par les différents chiffres du multiplicateur, en commençant la multiplication au chiffre du multiplicande placé au-dessus du chiffre qu’on emploie au multiplicateur, tous les produits partiels obtenus représenteront des cent-millièmes, et les chiffres des unités de ces différents produits partiels devront être écrits dans une même colonne verticale. On voit qu’on ne fera ainsi participer au produit que les chiffres des deux facteurs dont la combinaison peut donner au moins des cent-millièmes.

Le calcul présentera la disposition suivante ;

i 33 o, 56 oi I

Je force alors l’unité sur le chiffre des millièmes du produit, et je disque le produit demandé est bien i 33 o, 56 i ào,ooi près, par excès ou par défaut.

En effet, les chiffres négligés sur la droile de chaque multiplicande partiel, ne forment pas un nombre égal à une unité du dernier ordre conservé ( 175 ). Donc l’erreur sur chaque produit partiel correspondant sera moindre que le chiffre employé au multiplicateur multiplié par 0,00001 ( dans le cas considéré). Par suite, il faudra d’abord tenir compte d'une erreur par défaut égale à la somme des chiffres employés au multiplicateur, multipliée par 0,00001.

Il faut remarquer que si le multiplicateur renversé dépasse le multiplicande sur la droite, on doit ajouter par la pensée des

88 ÀHITHMÉTIQUK.

zéros à la suite du iiiulliplicande, de manière à ne négliger aucun chiffre sur la droite du multiplicateur renversé ; les chiffres du multiplicateur qui correspondent à ces zéros additionnels n’entrent pas alors dans l’évaluation de l’erreur. ,

Les chiffres du multiplicateur qui dépassent le multiplicande sur la gauche étant au contraire laissés de (;oté, il s’agit d’apprécier l’erreur qui en résulte. D’après ce qui précède, ces chiffres ne forment pas un nombre égal à une unité du dernier ordre conservé sur la gauche du multiplicateur. De plus, la valeur du multiplicande est inférieure à celle de son dernier chiffre à gauche augmenté de i . Par conséquent, les chiffres négligés sur la gauche du multiplicateur entraîneront (en cent-millièmes) une erreur par défaut inférieure au dernier chiffre à gauche du multiplicande plus i.

L’erreur par défaut commise sur le produit cherché est' donc, dans l’exemple considéré, au plus égal à

(4-4-9-l-2-f-3-|-6-|-8) Xo , oooo i -|-(3-|- 1 ) Xo , oooo i = o ,ooo36,

quantité inférieure à loo cent-millièmes ou i millième.

Le produit exact tombe donc entre

i33o,56oii, et i33o,56oi i -|-o,ooi = i33o,56u i .

A plus forte raison, sera-t-il compris entre i33o,56o et i33o,5Ô2.

Le nombre i33o,56i qui diffère de ces deux limites juste de 0,001, représentera le produit cherché à moins de o,ooi par excès ou par défaut ; car le produit exact tombant entre i33o,56o et i33o,562, tombe nécessairement entre i33o,56o et i33o,56i ou entre i33o,56i et f33o,56a.

Dans la pratique, on peut ne pas écrire les chiffres du multiplicande et du multiplicateur qui ne doivent pas être employés. Soit, par exemple, à multiplier 42»3o578oo6 par 9528,6023071 à 0,01 près; le produit exact est

Le calcul |)résenlera la disposition suivante : ,

,, . 846 ii56

4o3 ii 4)95 i 4

Et le produit cherché sera 4o3i 14.96 à o,oi près, par excès ou par défaut.

177. On voit facilement comment il faudrait modifier la règle, si la limite de l'erreur surpassait une unité de l’ordre d’approximation demandé. Au lieu d’écrire le chiffre des unités du multiplicateur sous le chiffre du multiplicande qui représente des unités cent fois plus petites que celle qui exprime ce degré d’approximation, on l’écrirait sous le chiffre qui représente des unités mille fois plus petites. On répondrait aiysi à tous les cas possibles de la pratique.

Si l’on avait, par exemple, à multiplier 40000,57071238 par 99,999999999071 , et si l’on demandait le produit ào,ooi près, on obtiendrait, en appliquant la première règle indiquée (176), la disposition suivante : '

On verrait immédiatement que la limite supérieure de l’erreur commise atteindrait 104 cent-millièmes, quantité plus grande que 0,001. On aurait alors recours à la règle modifiée, c’est-àdire qu’on écrirait le chiffre des unités du multiplicateur sous le chiffre des millionièmes du multiplicande. 11 vaudrait mieux d’ailleurs, dans l’exemple proposé, renverser l’ordre des deux facteurs, ce qui est évidemment permis. On aurait alors

et l’erreur sur le produit aurait pour limite o,ooo36, quantité moindre que 0,001 . -

Eiiün, dans le cas où la somme des chiffres qui entrent dans l’évaluation de l’erreur est inférieure à 10, la règle au contraire se simplilie, puisqu’on peut écrire le chiffre des unités du multiplicateur sous le chiffre du multiplicande qui représente seu- ’ lement des unités dix fois plus faibles que le degré d’approximation voulu.

Division.