I O I UO

, qooo 5oo 9.0 ou a ^ 1 1

c’est-à-dire à

lOOO lOOO lOOO lOOO lOOO

On voit que pour obtenir la fraction qui correspond à un nombre décimal donné, il faut prendre pour numérateur le nombre décimal lui-même, abstraction faite de la virgule, et pour dénominateur l’unité suivie d’autant de zéros que le nombre proposé contient de chiffres décimaux.

Réciproquement, toute fraction ayant pour dénominateur une puissance de lo, représente un nombre décimal qui est formé des mêmes chiffres que le numérateur de la fraction et qui contient autant de décimales qu’il y a de zéros au dénominateur de cette fraction, f.es sortes de fractions s’appellent /racf/ons décimales et se confondent enti('“rcment avec les nombres décimaux..

Lecture et écriture des nomlires décimaux.

168. On peut d’abord remarquer que, dans un nombre décimal, les chiffres placés dans la partie entière et dans la partie décimale à égale distance du chiffre des unités, se correspondent en ce sens que si le chiffre placé trois rangs plus loin vers la gauche représente des mille, le chiffre placé trois rangs plus loin vers la droite représente des millièmes. Les mêmes noms se répètent donc à gauche et à droite du chiffre des unités, sauf la terminaison ième qui caractérise les fractions.

Ceci posé, si le nombre des chiffres décimaux n’est pas trop grand, on énoncera à part la partie entière et à part la partie décimale, en regardant le dernier chiffre décimal comme représentant les unités simples de cette partie décimale.

Ainsi, les nombres 4,6?58 et io,3o'jo52 s’énonceront 4 unités; 6258 dix-millièmes, et lo unités, 3o"o52 millionièmes. En ' effet, 6 dixièmes valent Go centièmes ou 6oo millièmes ou Gooo dix-millièmes ; 2 centièmes valent 20 millièmes ou 200 dix-millièmes; 5 millièmes valent 5o dix-millièmes, etc.

Quelquefois on réunit dans l’énoncé la partie entière et la partie décimale. Ainsi le nombre 87,017 peut s’énoncer 87017 millièmes. En effet, i unité vaut 1000 millièmes.

Si le nombre des chiffres décimaux est considérable, comme un dixième vaut dix centièmes ou cent millièmes et qu’un centième vaut dix millièmes, comme un dix-millième vaut dix cent-millièmes ou cent millionièmes et qu’un cent-millième vaut dix millionièmes , on pourra former la tranche des millièmes, celle des millionièmes, celle des billionièmes, etc..

AniTIIMÈTIQUE. 83

connue on a formé la tranche des mille, celle des millions, celle des billions, etc. De sorte (lue, pour lire la partie décimale, on la partagera en tranches de trois chiffres à partir de. la virgule ( la dernière tranche à droite pourra n’avoir qn’nn ou deux chiffres) et l’on énoncera chacune de ces tranches en désignant l’espèce d’unité représentée par son dernier chiffre à droite. On verra mieux, en opérant de cette manière, quelle importance on doit accorder aux différents chiffres décimaux.

D’après ce que nous venons de dire, le nombre

s’énoncera : 4^78 unités, 607 millièmes, 812 millionièmes, 704 hillionièmes, 781 trillionièmes, 2 cent-trillionièmes.

169. Pour écrire un nombre décimal, il suffit d’écrire la partie entière et la partie décimale telles quelles sont énoncées, en ayant soin de remplacer par des zéros les tranches ou parties de tranches qui peuvent manquer soit dans la partie entière, soit dans la partie décimale.

Ainsi les noinhres 67 unités, 325 millièmes, et lo uniU‘S, 307052 millionièmes, s’écriront : ■

57,325 et 10,307052.

De même, on écrira le nombre : 82625 unités, 32 millièmes, 5 i 2 millionièmes, 3 dix-billionièmes :

Lorsque le nombre proposé ne renferme pas de partie entière, on la remplace par un zéro. 25 dix-millièmes s’écrivent 0,0025.

Enfin, 4257 centièmes s’écriront 42)67, en plaçant la virgule de manière que le dernier chiffre 7 représente des centièmes.

170. En résumé , quand on lit un nombre décimal , la seule difficulté est de donner au dernier chiffre décimal le nom qui convient au rang (ju’il occupe; quand on écrit un nombre décimal, la seule difficulté est de placer le dernier chiffre décimal au rang énoncé.

(* ) Si Von avait énoncé la partie décimale de ce même nombre soua la forme : trois cent vingt-cinq millions cent vingt mille trois dix-billionièmes, il aurait fallu remarquer que le dernier chiffre décimal devant représenter dés dix-billionièmes et dix billions indiquant dix rangs à gauche du chiffre des unités, la partie décimale doit contenir nécessairement dix chiffres, pour que le chiffre des dix-biriinnièmcs se trouve dix rangs à droite du chiffre des unités ( 168). Par suite, on aurait complété oes dix chiffres en écrivant un xéro entre la virgule et le premier chiffre signiOcatif do la partie décimale énoncée.

84 AlUTHMÉTIQUE.

171. On ne change pas la valeur d’un nombre décimal en écrivant des zéros à su droite. En effet, zo5 niilliènics, par exemj)le, équivalent à 2o5o dix-millièmes ou à ?.o5oo cent-millièmes, etc.

Il est utile de remarquer d’après eela que tout nombre entier peut être regardé comme un nombre décimal dans lequel il n’y a que des zéros après la virgule.

Pour multiplier ou diviser un nombre décimal par l’anilé suivie d'un nombre quelconque de zéros, il suffit de reculer la virgule d’autant de rangs vers la droite ou vers la gauche qu’il y a de zéros après l’unité.

En effet, chaque chiffre du nomhre proposé représente alors des unités lo, loo, looo fois plus grandes ou plus petites.

172. 11 ne faut jamais perdre de vue que les nombres décimaux proviennent d’une simple extension des conditions générales de la numération aux parties de l’unité qui sont de dix en dix fois plus petites, c’est-à-dire aux [)arlies de l’unité dont la succession graduée a lieu comme celle à laquelle les unités des différents ordres entiers obéissent. On pourra donc sounjettre aux mètnes règles de calcul la partie entière et la partie décimale des nombres décimaux; et la seule recherche, sera la place que la virgule doit occuper dans le résultat.

Addition et soustraction.

173. En se reportant à la remarque qui précède, on suivra pour additionner et soustraire les nombres décimaux des règles identiques à celles indiquées pour les nombres entiers (21,27).

Pour que les unités de même ordre se trouvent rangées dans une même colonne verticale, il suffira d’écrire les nombres proposés les uns au-dess6us des autres de manière que leurs virgules se correspondent.

Exemples : ^

Lorsque, dans la soustraction, le plus gr;uid nombre contient le moins de chiffres décimaux , on écrit à sa droite autant de zéros qu’il est néces.saire (171) pour que les deux nombres proposés contiennent le même nombre de chiffres décimaux.

Soit à soustraire 15,30721 de 29,815; on indiquera l’opéra-

AlUTHMÉTIQtE.

lion cumiiic il suit :

Multiplication.

174 . Pour mulliplitr deux nombres décimaux, on effectue leur produit en faisant abstraction de la virgule dans chacun d'eux, et l'on sépare sur la droite de ce produit autant de décimales qu'il y en a dans les deux facteurs.

Soit 3 a 5 , 94 ^ à mulliplier par 19,72. En faisant abstraction de la virgule dans le multiplicande, on le multiplie par 1000, et en faisant abstraction de la virgule dans le multiplicateur, on le multiplie par 100. On pourra donc écrire

32,5948 X *972 = 3a5,948 X 1000 X '9,72. X «oo = (325,948 X 19,72) X 100000.

l’ar suite,

Celle règle est générale, mais elle entraîne souvent des calculs inutiles. Supposons qu’on veuille mulliplier deux nombres contenant chacun sept décimales; la règle donnera le |)rodiiit avec quatorze décimales, et la connaissance de ces (|ualorze décimales sera en partie le plus souvent illusoire, soit à cause de rinsuflisance de nos procédés pratiques, soit parce (jue les sept décimales des deux facteurs ne seront pas elles-mêmes toutes certaines. 11 est donc important d’indiquer une marche qui permette de ne poser au produit ([ue le nombre de décimales indiqué d’avance par la nature de la question ; et il faut, pour cela, ne faire concourir à la formation du produit approché (|ue les décimales des deux facteurs qui peuvent influer sur les chiffres (lu’on veut j conserver.

175 . Vvanl d’exposer la multiplication abrégée, il faut montrer (|uelle erreur on commet lorsqu’on néglige plusieurs chiffres sur la droite d’un nombre décimal.

Soit le nombre (15,718249 supposé <‘xacl. Je remarque d'abord qu’ere négligeant des chiffres sur la droite de ce nombre, on ne fera jamais une erreur qui atteigne une unité de l’ortlre du dernier chiffre conseivé. Si l’on prend, par exemple, 65,7 18 au lieu du nombre proposé, l’erreur sem plus petite (ju’un millième;, en effet, lors même (|ue tous les chiffres négligés seraient des 9, il l'f'sullt' du principe général de la numération, que la somme de leurs valeurs respectives serait loujours in-

férieure à un inillième. En négligeant 9 dix-millièmes, il s’en faut d’un dix-millième qu’on néglige un millième; en négligeant 99 cent-millièmes, il s’en faut d’un cent-millième qu’on néglige un millième ; etc.

Quand le nombre approché est plus petit que le nombre exact, on dit que l’erreur est en moins ou qu’elle a lieu par défaut le nombre approché est plus grand que le nombre exact, on dit que l’erreur est en plus ou qu’elle a lieu par excès.

Ceci posé, je dis qu’on peut toujours faire en sorte que l’erreur commise soit, en plus ou en moins, plus petite qu’une demi-unité de l’ordre du dernier chiffre conservé.

Soit le même nombre 65,718249. En le remplaçant par le nombre 65,718, on néglige 2.49 millionièmes, c’est-à-dire un nombre inférieur à 3oo millionièmes et, à plus forte raison, à 5oo millionièmes ou à 5 dix-millièmes. Par suite, un millième valant dix dix-millièmes, l’erreur, par défaut , est plus petite qu’un demi-millième.

En remplaçant le nombre proposé par 65,72, on l’augmente de la différence qui existe entre un centième ou 10000 millionièmes et 8249 millionièmes, c’est-à-dire de 1761 millionièmes, quantité inférieure à 2000 millionièmes et, à plus forte raison, à 5ooo millionièmes ou à 5 millièmes. Par suite, un centième valant dix millièmes, l’erreur, par excès, est plus petite qu’un demi-centième.

Donc, lorsque le premier chiffre négligé est plus petit que 5, l’erreur est par défaut; lorsque le prunier chiffre négligé est égal ou supérieur à 5, on force l’unité sur le dernier chiffre conservé [c’est-à-dire on l’augmente d’une unité), et l’erreur est par excès : dans les deux cas, elle est plus petite qu’une demi-unité du dernier ordre conservé.

Multiplication abrégée.